Sei \( A \in K^{m \times n}, K \) ein Körper und \( \alpha \in K \backslash\{0\} \).
a) Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden linearen Abbildungen:
\( A=\left(\begin{array}{c} \vdots \\ a_{i} \\ \vdots \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} \vdots \\ \alpha a_{i} \\ \vdots \end{array}\right) \Leftrightarrow A \mapsto S_{i}(\alpha) A \text { mit } S_{i}(\alpha)=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & & i & & \\ & \ddots & & & \\ & & \alpha & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{array}\right) \mid i \)
b) Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden linearen Abbildungen:
\( A=\left(\begin{array}{c} \vdots \\ a_{i} \\ \vdots \\ a_{j} \\ \vdots \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} \vdots \\ a_{i}+\alpha a_{j} \\ \vdots \\ a_{j} \\ \vdots \end{array}\right) \Leftrightarrow A \mapsto S_{i}^{j}(\alpha) A \text { mit } S_{i}^{j}(\alpha)=\left(\begin{array}{lllll} 1 & & & \underline{j} & \\ & & \ddots & & \alpha & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{array}\right) \mid i \)
c) Zeigen Sie, dass \( \varphi_{1}: K^{m} \rightarrow K^{m}, x \mapsto S_{i}(\alpha) x \) und \( \varphi_{2}: K^{m} \rightarrow K^{m}, x \mapsto S_{i}^{j}(\alpha) x \) Isomorphismen sind.
Bemerkung: Die entsprechenden Eigenschaften gelten auch für die Zeilenvertauschung. Die Argumentation verläuft dabei analog zu den obigen Beweisen. Die Notation ist wie in Definition 3.2.1a der Vorlesung.
