Zwei Nullfolgen bestimmen

Question

Hallo Mathefreunde,

finde irgendwie keinen rechten Zugang zu folgender Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion f: (0,∞) -> (0,∞), f(x) = sin(1/x).

Geben Sie Nullfolgen (x_n)_n und (y_n)_n positiver reeller Zahlen an, so dass

lim f(x_n) = 1 für n -> ∞

und

lim f(y_n) = -1 für n -> ∞

Hinweis:

Benutzen Sie, dass für alle ganzen Zahlen k gilt:

sin(π/2 + 2kπ) = 1

und

sin(-π/2 + 2kπ) = -1

Ich kann mir zwar veranschaulichen, wie f(x) = sin(1/x) aussieht und weiß auch, was eine Nullfolge ist.

Aber ich bekomme leider nicht beides unter einen Hut.

Würde mich sehr über eine Antwort mit Erklärung der Vorgehensweise freuen.

Andreas

Answer 1

Probier's mal mit \(x_n:=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}, y_n:=\frac{1}{2n\pi-\frac{\pi}{2}}\).

Da lässt sich ziemlich einfach zeigen, dass diese Folgen die gesuchten Eigenschaften erfüllen.

Comments

@Nick:

Klasse, danke Dir vielmals!