Einen normierten Eigenvektor der Matrix B= (1 7 0 , 0 1 0 , 0 3 1 ) bestimmen, beispiel?

Question

Bestimmen Sie einen normierten Eigenvektor der Matrix B= (1  7  0  , 0  1  0  , 0  3  1 ) alles in klammer wird untereinander gestellt.

Meine Frage, was muss ich denn hier  konkret machen?

Danke und Lieben Gruß

Nadine

Answer 1

Hey.
Ganz einfach:
Du berechnest die Eigenwerte der Matrix . Dann nimmst du dir einen der Eigenwerte und berechnest den dazugehörigen Eigenvektor. Diesen Eigenvektor musst du dann nurnoch normieren(Länge = 1).
Für einen Eigenvektor a zum Eigenwert λ  gilt: (A-λ)*a = 0 bzw. der Eigenvektor ist  ker(A-λ).
Reicht das aus als Antwort?

Answer 2

a sei Eigenwert, (x,y,z) eigenvektor.

1 7 0     [x                     [ax

0 1 0      y          =          ay

0 3 1     z]                        az]

x + 7y = ax

y = ay            -------> a = 1 oder y = 0

3y + z = az

Fall a= 1

x + 7y = x

y = y

3y + z = z      -----> y = 0

x,z beliebig.

z.B. x=1 und z= 0 oder x=0 und z=1.

Kontrolle

1 7 0     [1                     [1

0 1 0      0          =          0

0 3 1     0]                        0]

1 7 0     [0                     [0

0 1 0      0          =          0

0 3 1     1]                        1]

Somit sind (1,0,0) und (0,0,1) schon zwei normierte Eigenvektoren deiner Matrix.

Zur Kontrolle noch damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28%281+%2C+7+%2C+0+%29+%2C+%280+%2C+1+%2C+0%29++%2C+%280+%2C+3+%2C+1%29+%29+