Einheitsvektor orthogonal zu 2 Vektoren

Question

Aufgabe:

Man bestimme mithilfe des Skalarproduktes den Einheitsvektor \( \vec{x}_{E} \), der zu jedem der beiden Vektoren \( \vec{a}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k}, \quad \vec{b}=2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k} \) orthogonal ist.

 

1) Müssen die beiden Vektoren nicht parallel zueinander stehen, damit sie einen gemeinsamen orthogonalen Vektor haben?

Nach meiner Berechnung sind die beiden Vektoren aber nicht parallel zueinander, da sie voneinander unabhängig sind, wenn man ein Gleichungssystem auflöst.

2) Ich weiß, was ein Einheitsvektor ist, aber was ist mir orthogonalem Einheitsvektor gemeint?

Die Einheitsvektoren der beiden Vektoren sind ungleich.

Comments

Zitat. "1) Müssen die beiden Vektoren nicht parallel zueinander stehen, damit sie einen gemeinsamen orthogonalen Vektor haben"

Nein, müssen sie nicht.

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Danke für den Kommentar.

Ich bitte um ein Beispiel und eine Begründung.

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schau mal da: http://www.3d-meier.de/tut6/30/VP.jpg

der Vektor c ist orthogonal  zu a und b, obwohl a und b nicht parallel zu einander sind

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Vielleicht hilft es, sich zu vergegenwärtigen, dass wir uns hier im Raum befinden und nicht in der Ebene.

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Alles klar. Verstehe. Danke.

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piknockyou: Noch zu deinem Löser:

Sowohl +xE als auch -xE stehen orthogonal zu den gegebenen Vektoren und haben die Länge 1. Die Aufgabenstellung war somit falsch. Es gibt nicht DEN Vektor xE sondern man kann ALLE oder EINEN oder BEIDE bestimmen.

Den Weg zur Lösung hat ja ibk vorgeführt.

Answer 1

der gesuchte Vektor sei (a, b, c)

Löse das Gleichungssystem:

(a, b, c)•(1, 2, -1) = 0

(a, b, c)•(2, -2, 1) = 0

(a, b, c)•(a, b, c) = 1

Comments

1) Verstehe ich nicht. Kannst was dazu sagen?

Aber wichtiger noch:

2) Die Aufgabenstellung sagt, dass ich den Einheitsvektor mithilfe des Skalarproduktes berechnen soll.

Wie geht das?

3) Ich kann es mit dem Vektorprodukt:

Aber der Löser zeigt positive Terme.

Was ist nun richtig? Ist der Löser wieder falsch?

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Was ist nun richtig? Ist der Löser wieder falsch?

beides ist richtig, denn es muss ja 2 eineinder entgegengesetzte Normalvektoren geben

Die Aufgabenstellung sagt, dass ich den Einheitsvektor mithilfe des Skalarproduktes berechnen soll

das passiert ja bei meinem Rechenweg:

der gesuchte Vektor möge (a, b, c) lauten 

du hast also 3 Unbekannte a, b, c zu berechnen

also stellt man 3 Gleichungen auf, um a, b, c zu berechnen

bei I) und II) verwendet man, dass das Skalarprodukt a • b zweier Vektoren a, b Null ist, wenn diese Vektoren orthogonal (⊥) zueinander sind

I) (a, b, c)•(1, 2, -1) = 0 ........weil (a, b, c)⊥(1, 2, -1)

II) (a, b, c)•(2, -2, 1) = 0  ........weil (a, b, c)⊥(2, -2, 1)

III) (a, b, c)•(a, b, c) = 1 .........weil

|(a, b, c)| =1 ............. weil der Betrag des Einheitsvektors ist 1 ⇔

√(a²+b²+c²) =1⇔

(a²+b²+c²) =1⇔

(a, b, c)•(a, b, c)

------------------------------------------------------------------------

das ergibt die 3 Gleichungen:

a+2b-c=0

2a-2b+c=0

a²+b²+c²=1

das müsstest du nun lösen ...

Answer 2

a+2b-c=0    (I)

2a-2b+c=0  (II)

---------------- +

3a = 0 ---> a = 0

(I) → 2b = c

Nun noch √(a^2 + b^2 + c^2) = 1 berücksichtigen.

1 =√(0 + b^2 + (2b)^2) = √(5b^2)  |^2

1 = 5b^2

1/5 = b^2

b = ± 1/√5

c = 2b = ± 2/√5

Gesuchter Vektor 

1. Möglichkeit: v = 1/√5 j + 2/√5 k

2. Möglichkeit: v = -1/√5 j - 2/√5 k.