Z=(1-i)/(1+i) , Länge von Z und Polardastellung

Question

In der Aufgabe sind Real- und Imaginärteil der folgenden Gleichung gefragt:

z = (1-i)/(1+i)

Ich habe diese Gleichung mit (1-i) erweitert und bekam schließlich -i rauss. Also Re(0) und Im(-1). Stimmt das so?

Als nächstes sollen wir die Länge von z bestimmen und z in die Polarform bringen. Da weiß ich leider nicht mehr weiter.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Gruß

Answer 1

Hi, der erste Teil stimmt. Als nächstes musst Du den Betrag von −i bestimmen.

Comments

Der Betrag von -i müssten dann ja sein:

$$\left| z\cdot { z }^{ \ast  } \right| =\quad \sqrt { -i\cdot i } =\quad 1$$

Ich habe also z und z* miteinander multipliziert und davon den Betrag genommen.

---

Ok gut! Weiter geht es dann mit der Polarform.

---

So ! Bin nun angemeldet ^^

Ich habe mir folgendes überlegt:

$$z=r\cdot { e }^{ i\varphi  }\quad \\ mit\quad r=\left| z \right| =1\quad und\quad \varphi =arg(z)=-1\quad \quad folgt\\ z={ e }^{ -i }$$

Das mit arg(z) bin ich mir nicht sicher ob die Antwort nun -i oder -1 lauten soll.

---

Und ich glaub ich hab oben was falsch gemacht. Für die Länge von z sollte doch eigentlich heißen:

$${ \left| z \right|  }^{ 2 }=z\cdot \overline { z } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\quad daraus\quad folgt\\ \\ \left| z \right| =\sqrt { z\cdot \overline { z }  } =\quad \sqrt { -i\cdot i }$$

Also $$\left| z\cdot \overline { z }  \right|$$ entspricht nicht der Länge sondern das Quadrat der Länge.

---

Steht das nicht oben auch so? Jedenfalls ist der Betrag 1.