a ausrechnen in e-Funktion

Question

Bestimme den Wert von a so, dass die maximale Höhe der Bahn 10m beträgt.

 ga(x)=x^2*e^-ax

Das war eine Aufgabe in meiner letzten Klausur, ich habe leider immer noch keine Ahnung, wie ich jetzt a herausbekomme.

Sari

Answer 1

g(x) = x^2·e^{- a·x}

g'(x) = x·e^{- a·x}·(2 - a·x) = 0

x = 0 oder x = 2/a

g''(x) = e^{- a·x}·(a^2·x^2 - 4·a·x + 2)

g''(0) = 2 < 0 --> Tiefpunkt

g''(2/a) = - 2·e^{-2} < 0 --> Hochpunkt

g(2/a) = 4·e^{-2}/a^2 = 10

a = √10/(5e) = 0.2326673876

Answer 2

$$ g_a(x)=x^2 \cdot e^{-ax}  $$
Ableitung mit Produktregel
$$ g'_a(x)=2x \cdot e^{-ax} + x^2 \cdot (-a) \cdot e^{-ax}$$
$$ g'_a(x)=(2x -ax^2) \cdot e^{-ax} $$
Nullstelle der Ableitung:
$$ g'_a(x)=0 $$
$$ 0=(2x -ax^2) \cdot e^{-ax} $$
ehochirgendwas wird nie Null, als kann nur der geklammerte Faktor Null werden:
$$ 0=(2x -ax^2) $$
x vorgeklammert ist eine Nullstelle:
$$ 0=x (2 -ax) $$
$$ 0=(2 -ax) $$
die andere:
$$ ax=2  $$
$$ x=\frac 2a  $$
Erkenntnis in Grundfunktion einsetzen:
$$ g_a(x)=x^2 \cdot e^{-ax}  $$
$$ g_\frac 2a (x)=10  $$
$$ 10=\left(\frac 2a\right) ^2 \cdot e^{-a\frac 2a }  $$
$$ 10=\frac 4{a ^2} \cdot e^{- 2 }  $$

$$ a ^2  =\frac 4{  10} \cdot \frac1{e^{2 } } $$
$$ a ^2  =\frac 4{  10 \, e^{2 }}  $$
$$ a_{1,2}   =\pm \sqrt{\frac 4{  10 \, e^{2 }} } $$
$$ a _{1,2}   =\pm \frac{2}{e}  \frac 1{ \sqrt{ 10 } } $$
Probe machen !
$$$$und oben noch bei den Extrema ordentlich prüfen was min und max ist

Comments

Danke, dass hat mir wirklich geholfen. Ich dachte, dass wäre viel komplizierter.

---

Das prüfen der Extrema kann man sich eigentlich schenken. Hab ich aber trotzdem auch noch gemacht. Aber bei x = 0 hat man den Funktionswert 0

Ansonsten muss g(x) positiv sein also ist x = 0 der Tiefpunt. Folglich muss das andere ein Hochpunkt sein, weil die Funktion stetig ist.

---

Ich gehe mal davon aus, dass es bei einer Klausuraufgabe auf vollständige Beantwortung ankommt. Dazu gehört eben auch die nachvollziehbare Untersuchung der Extrema auf ihre Eigenschaften nach "Rezept", wenn man die Punkte komplett ernten möchte.

"Das sieht man ja" ist kein mathematischer Nachweis und erfahrungsgemäss "sehen" die Schüler sowiesonix.

Eine nichtformelmathematisch rezeptgetreue Erklärung muss vom Satzbau und den verwendeten Begrifflichkeiten her in der "mathematischen" Sprache gefasst sein, was üblicherweise kein Schüler richtig hinbekommt. 

Wenn ichs korrigieren würde, gäbe es nur volle Punkte wenn die Kurvendiskussion schön brav Punkt für Punkt abgearbeitet wird. Das erleichtert auch den "Nichtkapierern" die Notenausbeute, weil ja doch mehrheitlich mit Schema abarbeiten versucht wird, sich durch die Schule zu retten, als mit wirklichem Verständnis.

Also besser eine Aufgabe, die man blickt, so vollständig wie möglich durcharbeiten, als ein Trümmerfeld von panisch angefangenem Gekritzel zu produzieren, nur weil man meint zu jeder der Aufgaben was gemacht haben zu müssen.

Soweit der Rat zum Sonntag ...