Stammfunktionen + Parameter: f(x)= -a*(x²-1) Graph schliesst mit x-Achse Fläche 2 ein.

Question

Hallo

Habe gestern begonnen mit dem Lernen für das Abitur. Hier ist eine Aufgabe, bei der man (eigentlich einfach) das Integral bilden muss.

"Für welchen Wert des Parameteres a > 0 (a∈R) hat die vom Graphen der Funktion und der X-Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt 2"

f(x)= -a*(x²-1)

Als erstes habe ich die Funktion gleich nur gesetzt um eine Begrenzung der Fläche zu erreichen.

Es folgt im positiven Bereich x=1 x=-1und x=-a

Wenn man mit X weiterrechnet erhalte ich folgende Stammfunktion:

F(x)= -1/3ax^3+ax für I[0;1]

Ich setze für a=0 und b=1 (Begrenzung der Fläche) ein und setze das Ergebnis gleich 2, woraus  sich folgender Term ergibt:

1/3a1^3+x-2=0

Jetzt brauche ich Polynomdivision... aber mir fällt keine Nullstelle ein. Hier endet mein Ansatz.

mfG

Answer 1

"Für welchen Wert des Parameteres a > 0 (a∈R) hat die vom Graphen
der Funktion und der X-Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt 2"

f ( x ) = -a * ( x^2 - 1 )

Schnittpunkte mit der x-Achse.
f ( x ) = -a * ( x^2 - 1 )

Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
a ist > 0. Also
x^2 - 1 = 0
x = 1
x = -1

Stamfunktion
-a * ( x^3/3 - x )
Fläche zwischen
-a * [ x^3/3 - x  ]_-1¹
-a * [ 1^3/3 - 1 - (  (-1)^3/3 - (-1) ) ]
-a [ 1/3 - 1 - ( -1/3 + 1 ) ]
-a [ 2/3 - 2 ]
-a [ -4/3 ]
4/3 * a

4/3 * a = 2
a = 3/2

Alle Berechnungen ohne Gewähr.

Answer 2

Es folgt im positiven Bereich x=1 x=-1und x=-a
Das ist falsch.
x=-a ist keine Lösung, setze es mal ein.

Comments

F(x)= -1/3ax³+ax für I[0;1]

Ich setze für a=0 und b=1 (Begrenzung der Fläche) ein und setze das Ergebnis gleich 2, woraus  sich folgender Term ergibt:

1/3a1³+x-2=0
Stimmt nicht so ganz:
Du musst für x einmal o und einmal 1 einsetzen und diese
beiden subtrahieren und das dann gleich 2 setzen
Dann bleibt eine einfache Gleichung mit a übrig

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Schlecht geschrieben von mir, aber das habe ich eigentlich gemacht.

Während ich diese Antwort geschrieben habe ist es mir aufgefallen... ich habe zwar für x eingesetzt, aber trotzde, a^3 genommen, was natürlich keinen Sinn macht. Danke vielmals für die schnelle Antwort! :))