Für welches Lambda ist das Dreieck ABC gleichschenklig? (Vektorrechnung/Dreieck)

Question

Aufgabe Vektorrechnung:

Gegeben seien die Punkte \( \mathrm{A}(4|-4| 2), \mathrm{B}(2|2|-2) \) und \( \mathrm{C}(6|\lambda|-2) \) mit \( \lambda \in \mathbb{R} \), sowie die Vektoren \( \overrightarrow{\mathrm{e}}=\left(\begin{array}{c}6 \\ -3 \\ -1\end{array}\right), \overrightarrow{\mathrm{f}}=\left(\begin{array}{c}\alpha-1 \\ 7 \\ 3\end{array}\right) \) und \( \overrightarrow{\mathrm{g}}=\left(\begin{array}{l}0 \\ \beta \\ 4\end{array}\right) \) mit \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) in einem kartesischen Koordinatensystem.

a) Für welches \( \lambda \) ist das Dreieck \( \mathrm{ABC} \) gleichschenklig?

b) Für welches \( \lambda \) ist das Dreieck \( A B C \) gleichseitig?

c) Für welches \( \alpha \) sind \( \overrightarrow{\mathrm{e}} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{f}} \) zueinander orthogonal?

d) Für welches \( \alpha \) bzw. \( \beta \) sind \( \vec{f} \) und \( \vec{g} \) zueinander parallel?

e) Unter welchem Winkel \( \varphi \) schneiden sich die Vektoren \( \overrightarrow{\mathrm{e}} \) und \( \vec{g} \) mit \( \beta=1 \) ?

f) Berechnen Sie für \( \alpha=\beta=1 \):

\( \{[2 \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}} \times \overrightarrow{\mathrm{f}}] \times 3 \cdot \overrightarrow{\mathrm{g}}\} \circ \overrightarrow{\mathrm{f}} \)

Ansatz/Problem:

Die c) habe ich... denke muss für α 5 einsetzen damit die vektoren e und f orthogonal zueinander sind. Ich weiß aber nicht wie ich λ bestimmen muss.

Answer 1

AB = [2,2,-1] - [4,-4,2] = [-2, 6, -3]

|AB| = 7

AC = [6,k,-2] - [4,-4,2] = [2, k + 4, -4]

|AC| = √(k^2 + 8·k + 36)

BC = [6,k,-2] - [2,2,-1] = [4, k - 2, -1]

|BC| = √(k^2 - 4·k + 21)

a) Gleichschenklig

√(k^2 + 8·k + 36) = 7 --> k = - √29 - 4 ∨ k = √29 - 4

√(k^2 - 4·k + 21) = 7 --> k = 2 - 4·√2 ∨ k = 4·√2 + 2

√(k^2 + 8·k + 36) = √(k^2 - 4·k + 21) --> k = - 5/4

b) Gleichseitig

nie

d) [a - 1,7,3] = r * [0,b,4]

r = 3/4

a = 1

3/4*b = 7

b = 7*4/3 = 28/3

e)

ARCCOS( b*g / (|b|*|g|) ) = ...

f)

Wo liegen hier die Schwierigkeiten ? Da müssen wir ja nur das Skalarprodukt, das Kreuzprodukt und das Punktprodukt anwenden?

Answer 2

Also zu a und b :

Gleischenklig ist ein Dreieck ,wenn zwei Seiten gleich lang sind. Also gilt:

|A-B |= |B-C|

oder

|A-C| = |B-C|

oder

|A-B| = |A-C|

Wie der Betrag definiert ist weißt du?

Für  ein gleichseitiges Dreieck gilt:

|A-B |= |B-C| = |A-C|

zu d ) :

Parallel sind zwei Vektoren f und g wenn gilt : f = t *g

Wobei t  Element von R ist .

zu e):
Ließ dir das durch :

http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/winkel_zwischen_vektoren.htm

zu f :
Denke mal x ist hier als Kreuzprodukt definiert und dieser Kreis das Skalarprodukt.

Einfach mal google nach der Berechnung der beiden Fragen und dann einsetzen.

Answer 3

zu b)
bilde die vektoren AB = (-2 ; 6 ; -4)  und BC = (4 ; L-2 ; 0 ) und AC =( 2 ; L+4 ; -4) und dann
davon die Längen
bei AB = wurzel( 4 + 36 + 16) = wurzel(56)
bei BC =   wurzel( 16 + (L-2)^2 )
bei AC = wurzel ( 4 + (L+4)^2 + 16 )
und dann musst du schauen, wann diese drei Wurzeln gleich sind.
bei a) müssen halt nur 2 gleich sein.

d) f ung g parallel, wenn
a - 1 = k*0
7  = k*b
3 = k*4   also   k = 3/4 bei den ersten beiden einsetzen und a, b
bzw. alpha beta ausrechnen.

e) setze für beta die 1 ein und nimm die Formel vom Skalraprodukt
e * g = |e| * | g| * cos(phi)
das e*g rechnest du aus 6*0 + -3*1 + -1*4
und die beiden Längen auch, dann hast du cos(phi) und
bestimmst mit dem TR den Winkel.
f) Schau dir die Formel zur Berechnung des Vektorproduktes x an und
rechne aus.