Sei K ein Körper. Zeigen Sie die folgenden ohne Beweis erwähnten Aussagen (Matrizenmultiplikation)

Question

Sei K ein Körper. Zeigen Sie die folgenden ohne Beweis erwähnten Aussagen:

a) Seien f : U → V , g : V → W lineare Abbildungen von K-Vektorräumen. Dann gilt: (g ◦ f)^∗ = f^∗◦ g^∗

b) Seien m, n, k natürliche Zahlen, A ∈ M_m,n(K), B ∈ M_n,k(K). Dann gilt: (A · B) ^t = B^t · A^t

Ich weiß ich nicht, wie ich diese beiden Aufgaben zeigen soll bzw. wie ich ansetzen muss um auf die richtige Lösung zu kommen.

Answer 1

Der * bei 1 sagt mir nichts, aber 2 ist es so:
"zeigen" heißt doch, dass man diese Aussage beweisen soll.
Das könnte so gehen:

Sei
a_i,1  a_i,2  .....   a_i,n
die i-te Zeile von A und
b_{1, j}  
b_2,j  
.......
b_n,j  
die j-te Spalte von B
Dann ist   c = a_i,1 *  b_1,j  + a_i,2 *  b2_,j  + .....  + a_i,n *  b_n,j 
das Element c_i,j in der Matrix A*B.

Die i-te Zeile von A ist die i-te Spalte von A^t  und
die j-Spalte von B ist die j-te Zeile von B^t . also
ist das Element   c_j,i in der Matrix B^t * A^t das Produkt
der j-ten Zeile von B^t mit der  i-ten Spalte von A^t
und damit das c von oben.
Und wenn immer c_i,jund  c_j,i übereinstimmen, ist das
transponierte der einen Matrix eben genau die andere.