Konvergenz von (1+1/n^2)^n

Question

Durch welche Umformungen kann man beweisen, dass

\( \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \longrightarrow 1 \)

Dass es mit Hilfe der n-ten Wurzel geht, ist mir bekannt: \( \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{n^{2}}{n}}=\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}} \longrightarrow \sqrt[n]{e} \longrightarrow 1 \)

Aber geht es auch elementarer?

Answer 1

Man kann mit Reihenentwicklung zeigen, dass für jedes n>=1 gilt:

Beide Funktionen links & rechts haben einen einfachen Grenzwert 1,

also kann das dazwischen nur ...

Comments

Natürlich kann man die linke Seite auch einfach 1 <= f(x) <= ...

setzen, das macht es noch einfacher....

Und wer es nicht so mit Reihenentwicklung mag, der sollte sich

http://www.gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html  §3b ansehen.

Mit B=0 und C=1 wird daraus (nur oberer Teil des Bruches):

und wegen B=0 wird aus dem Teil-Limes {2*t/(t²+1) mit t -> 0 } = 0

und e^0 = 1 fertig.

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Danke für die Korrektur meines hanbüchenen Bocks!

Answer 2

das sind doch nur drei Schritte, also elementarer gehts wahrscheinlich wirklich nicht.

Comments

So geht es im Gegenteil leider gar nicht.

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Wie geht es denn?                            

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Die Lösung ist falsch, weil man nicht einfach "partiell" den Grenzwert bilden darf, also erstmal nur den Grenzwert in der Wurzel, und danach die Wurzel berücksichtigen.
Sonst könnte ich auch folgendes machen: \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to 1^n\to 1.\) Bekanntlich ist aber \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\).