Zeigen Sie folgende Aussage zum Limes | Polynomdivision

Question

Zeigen Sie:

$$\forall \xi \quad \in \quad ℝ\quad \forall k\quad \in \quad |N:\quad { \overset {  }{ \underset { x\rightarrow \xi  }{ lim }  }  }\frac { { x }^{ k }-{ \xi  }^{ k } }{ x-\xi  } =k{ \xi  }^{ k-1 }$$

(|N soll dabei die natürlichen Zahlen darstellen)

Hinweis: Polynomdivision

Ich habe dies bereits, wie von meinem Tutor empfohlen, speziell für k=3,4,5 gezeigt. Aber wie mache ich das nun allgemein für k?

Comments

Steht doch im Hinweis: Mit Polynomdivision!

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Das ist mir bewusst, habe ich so ja auch im speziellen Fall gemacht. Leider funktioniert das bei mir irgendwie nicht im allgemeinen Fall.

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Eigentlich funktioniert es genau so.
Wo bekommst Du denn Schwierigkeiten?

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Wenn ich das richtig verstehe, müsste sich die Polynomdivision ja irgendwann wiederholen, d.h. während der Polynomdivision müsste dasselbe wie am Anfang wieder herauskommen?

Eine Antwort auf diese Frage würde mir wahrscheinlich schon weiterhelfen, eventuell habe ich einen Vorzeichenfehler drin :D

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Der Nenner ist ein Teiler des Zählers, also wird die Division glatt aufgehen. Wiederholen tut sich dabei eigentlich nichts, irgendwann ist man halt fertig.

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Okay, dann werde ich mal meinen Fehler suchen und mich nochmal melden.

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Man sollte doch nach k Schritten fertig werden, oder? Denn bei k=3 waren es 3 Schritte, bei k=4 waren es 4 Schritte usw. 
Das bedeutet doch, dass man im Grunde nicht fertig wird, weil k ja beliebig ist ?

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k ist zwar beliebig, aber nicht unendlich. Bestimme also vom Ergebnis die ersten paar Summanden und die letzten paar Summanden und setze einfach " \(+ \,...+\) " dazwischen.

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Dann ist die Antwort x^{k-1}+sigma^{k-1}+...+x^{k-1}+sigma^{k-1} und der limes x->sigma = k*Sigma^{k-1}.

Ist das korrekt?

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sigma?

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$$\xi $$ meinte ich :D

Also $$x^{k-1}+\xi ^{k-1}+...+x^{k-1}+\xi ^{k-1}$$ ?

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Nee.

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Sondern? Sorry, stehe gerade echt auf dem Schlauch :S

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Eher so:

$$ \forall\,\xi \in ℝ, \forall\, k \in \mathbb{N}:\\\,\\ \lim_{x\to\xi} \frac {x^k - \xi^k}{ x-\xi  } = \\\,\\ \lim_{x\to\xi} \left(x^{k-1}\cdot\xi^0 + x^{k-2}\cdot\xi^1 + \,... +\, x^1\cdot\xi^{k-2} + x^0\cdot\xi^{k-1}\right) = \\\,\\ k \cdot \xi^{ k-1 }. $$

(Bitte auf Tippfehler prüfen!)

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Sind keine Tippfehler drin, der Term in der Klammer erscheint auch logisch.. bei meiner vorigen "Lösung" wäre bei dem Limes ja auch nicht $$k*\xi^{k-1}$$ rausgekommen. Danke schonmal, ich werde nun nochmal die Lösung durchdenken und meinen (Denk)Fehler bei der Polynomdivision finden :)

Answer 1

mit Hilfe der Polynomdivision solltest du den folgenden Zusammenhang erschließen:

$$ (x-\xi) \cdot \sum_{j=0}^{k-1} x^j \cdot \xi^{(k-1)-j} = x^k - \xi^k $$

Gruß