Question

Zeige mithilfe der E-Funktion:

Es sei \( p(x)=1+x+\frac{1}{2} x^{2} \)

\( \sup _{x \in I-1,1]}\left|e^{x}-p(x)\right| \leq \frac{1}{4} \)

Answer 1

\(\text{(1)}\) Zeige per Induktion über \(k\), dass \(k!>2^k\) für alle \(k\in\mathbb N\) mit \(k>3\) gilt.
\(\text{(2)}\) Mithilfe der geometrischen Reihe folgt $$\begin{aligned}0<\sum_{k=3}^\infty\frac1{k!}&=\sum_{k=3}^5\frac1{k!}+\sum_{k=6}^\infty\frac1{k!}<\frac{13}{60}+\sum_{k=6}^\infty\frac1{2^k}=\frac{13}{60}+\frac1{2^6}\cdot2=\frac{119}{480}\\&<\frac{120}{480}=\frac14.\end{aligned}$$\(\text{(3)}\) Für alle \(x\in\mathbb R\) mit \(\vert x\vert\leq1\) gilt$$\vert e^x-p(x)\vert=\left\vert\sum_{k=3}^\infty\frac{x^k}{k!}\right\vert\leq\sum_{k=3}^\infty\frac1{k!}\vert x\vert^k\leq\sum_{k=3}^\infty\frac1{k!}<\frac14.$$

Answer 2

Der Beweis geht mit der Restgliedabschätzung der Exponentialreihe:

Satz 12 (Restgliedabschätzung der Exponentialreihe). Für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( n \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( |x| \leq 1+n / 2 \) gilt

\( \left|\exp (x)-\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}\right| \leq 2 \cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1) !} \)

Dein p(x) ist die Summe der ersten drei Glieder der Exponentialreihe. Das kannst du erkennen indem du einfach mal n=2 setzt:

$$ \sum _{ k=0 }^{ 2 }{ \frac { { x }^{ k } }{ k! } =\frac { { x }^{ 0 } }{ 0! } +\frac { { x }^{ 1 } }{ 1! } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } =1+x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }  }  $$

Was du nun wissen möchtest ist, was dein x ist. Auf der rechten Seite deiner Ungleichung steht 1/4. Heißt also, dass du bei der Restgliedabschätzung auf der rechten Seite n=2 setzt und schaust was rauskommt:
$$ 2\cdot \frac { { \left| x \right| }^{ 2+1 } }{ (2+1)! } =2\cdot \frac { { \left| x \right| }^{ 3 } }{ 3! } =\frac { { \left| x \right| }^{ 3 } }{ 3 } $$

Diesen Term setzt du mit 1/4 gleich

$$ \frac { 1 }{ 4 } =\frac { { \left| x \right| }^{ 3 } }{ 3 }  $$

und löst nach |x| auf

$$ \left| x \right| =\sqrt [ 3 ]{ 0.75 }   $$

Du kriegst somit also zwei Lösungen für x raus:

$$ x=\sqrt [ 3 ]{ 0.75 } $$

und

$$ x=-\sqrt [ 3 ]{ 0.75 } $$

Nun musst du nur noch in deiner Ungleichung oben dein p(x) durch die Summe der ersten drei Summanden ersetzen und dann die beiden x-Werte einsetzen und schauen, ob die Ungleichung stimmt. Du wirst sehen, dass die positive Zahl das gesuchte x ist.

Comments

Hi,

ich versteh das nicht richtig. Die Abschätzung ist ja ok. Aber daraus folgt doch für den Bereich \( [-1, +1] \) nur, dass eine Abschätzung \( \le \frac{1}{3} \) gilt und nicht \( \le \frac{1}{4} \)

Grafisch sieht das wie folgt aus. Die rote Linie stellt \( \left| e^x-1-x-\frac{x^2}{2}  \right| \) dar und die blaue Linie stellt \( \frac{|x|^3}{3} \) dar. Man sieht, dass die Abschätzung für den Bereich \( [-1, +1] \) nicht unter \( \frac{1}{4} \) liegt.

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Diese 0,25 waren ja von Anfang an vorgegeben. Und an deinem Schaubild sieht man ja, dass f(x) im Intervall [-1,1] kleiner gleich 0,25 ist, weswegen die Behauptung auch anschaulich stimmt sag ich mal. Man hätte genauso gut schreiben können kleiner gleich 0,2. Am Schaubild erkennt man, dass das auch noch passen würde.
Wenn man die Funktion g(x) betrachtet gilt das zunächst natürlich nur für 1/3. Allerdings kann man ja auch eine kleinere Zahl auf die rechte Seite der Ungleichung schreiben, wenn das immer noch Sinn macht.

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ich denke Du hast nur bewiesen, dass \( |e^x - p(x) | \le \frac{1}{4} \) gilt für \( -\sqrt[3]{\frac{3}{4}} \le x \le \sqrt[3]{\frac{3}{4}} \) gilt, es sollte aber für \( -1 \le x \le 1 \) bewiesen werden.