Lineare Gleichungsoperationen beweisen

Question

Halle Mahtebegeisterte,

ich bräuchte bitte eure Unterstüzung für eine Aufgabe:

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Seien \(A\in\mathbb R^{m\times n}\)  und \(b\in\mathbb R^m\). Wir werden im folgenden das lineare Gleichungssystem Ax = b mit \(x\in\mathbb R^n\) als Koeffizientenmatrix (A|b) betrachten. Wir bezeichnen mit L(A,b) die Lösungsmenge von (A|b), die auch leer sein kann.
Sei nun \(\lambda \neq 0\).

a) Vertauscht man in (A|b) die i-te mit der j-ten Zeile, so erhält man das System (A₁|b₁).

b) Multipliziert man in (A|b) die i-te Zeile mit λ, so entsteht (A₂|b₂).

c) Addiert man in (A|b) das λ-fache der i-ten Zeile zur j-ten Zeile und lässt das Ergebnis die neue j-te Zeile sein, so bekommt man (A₃|b₃).

Zeigen Sie, dass L(A,b) = L(A_s,b_s) für s = 1, 2, 3. Die Lösungsmenge bleibt also stabil unter diesen Operationen.

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Ich weiß wie alle (A_s|b_s) auszusehen haben und kann auch mit den Operatoren prima mit reellen Zahlen rechnen. Allerdings soll ich hier das allgemein Beweisen und da hapert es bei mir.

Ich weiß nämlich nicht, wie ich dann rechnen soll, sodass ich immer im allg. die gleiche Lösungmenge erhalte.

Wie fang ich da an?

Answer 1

du musst ja im Grunde nur zeigen, dass jede Lösung von (A|b) eine Lösung von (A_s|b_s) ist und umgekehrt.  Da sich die beiden LGS nur um eine oder 2 Zeilen unterscheiden brauchst du dir auch nur diese zu betrachten.

Beispiel:

Sei \( a_{i1}, a_{i2},...,a_{in}\) die i-te Zeile der Koeffizientenmatrix und \(x\) eine Lösung von \( (A|b) \). Dann gilt für \( \lambda \neq 0 \)

$$ a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + ... a_{in}x_n = b_i \Leftrightarrow \lambda (a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + ... a_{in}x_n )= \lambda b_i$$

Also ist für \( \lambda \neq 0 \) \(x\) eine Lösung von \((A|b)\) genau dann, wenn \(x\) eine Lösung von \((A_2|b_2)\) ist.

usw.

Gruß