Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion h(x) = arcsin((1-x)/(1+x))

Question

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion

\( h(x)=\arcsin \left(\frac{1-x}{1+x}\right) \)

und berechnen Sie dort \( h^{\prime}(x) \)

(b) Bestimmen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} h(x) \).

(c) Das ist die Entwicklung der Aufgabe \( 5(b) \) von Übungsblatt \( 9 . \) Dort haben Sie den Definitionsbereich der Funktion \( g \) bestimmt, die durch

\( g(x):=\log \left(\tan \frac{x}{2}\right) \)

definiert ist und gezeigt, dass

\( g^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin x} \)

ist. Der Definitionsbereich der Funktion \( g \) ist aber klein.

Finden Sie eine differenzierbare Funktion \( f \), die auf \( \mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \) definiert ist und die dort die Eigenschaft \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin x} \) hat.

Ansatz/Problem:

Bei der a) weiß ich das der Definitionsbereich [-1,1] sein muss, aber nicht wie man das bestimmt. Und gbt es einen Unterscheid die Ableitung zu bestimmen oder die Ableitung im Definitionsbreich zu bestimmen?

Und die (b) mit L'Hospital, aber dafür brauche ich ja erstmal die Ableitung von A.

Answer 1

Bei der a) weiß ich das der Definitionsbereich [-1,1] sein muss, aber nicht wie man das bestimmt.

Der Definitionsbereich vom arcsin ist bekanntlich [ -1 , 1 ], also musst du für den D von f(x) herausfinden, für welche x gilt:

- 1 <  (1-x)/(1+x) ≤ 1

Und: Die Ableitung zu bestimmen ist doch eh nur sinnvoll für x in D.

Comments

Ich glaube er meint C). <;-)  Die anderen beiden sind einfach.

a) einsetzen in die Formel vom Beispiel aus Vorlesung. arc sin(y)

das x für Definitionsbereich durch ausprobieren. Negativ anfangen und dann kommt man nicht sehr weit.

b) Regel 10.17 u 10.18