Drittes Taylorpolynom von f im Entwicklungspunkt. Approximieren Sie cos(-2) und cos(2) mithilfe Taylorpolynoms.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f(x)=\cos (x) \). Berechnen Sie das dritte Taylorpolynom von \( f \) im Entwicklungspunkt \( x_{0}=-\pi \).

Approximieren Sie \( \cos (-2) \) und \( \cos (2) \) mit Hilfe des Taylorpolynoms. Sie dürfen einen Taschenrechner benutzen, um eine Dezimalzahl (zwei Nachkommastellen, nicht gerundet) hinzuschreiben.

Da cos eine gerade Funktion ist, gilt

\( \cos (2)=\cos (-2) \)

Wie kommt der Unterschied der Approximationen zustande? Welcher Wert ist genauer?

Answer 1

http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1054&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CCMQFjAA

Hier ist das relativ gut erklärt,wie sowas geht.

Du hast dein x0 gegeben. Also musst du nurnoch die Ableitungen ausrechnen, in diesen Ableitungen x0 einsetzen und dann alle gegebenen Werte in die Formel einsetzen.

z.b. für das erste Glied f(x₀)/0! * (x-x₀)^0 =

cos(π)/1* 1 = cos (π)= -1

Da hast du schonmal dein erstes Glied.

Für das Zweite berechnest du f'(x) . f'(x)= -sin(x)

Also :D
f'(x₀)/1! * (x-x₀)^1 = -sin(π)/1!* (x-π)^1= ...

Und so weiter.... Die einzelnen Glieder werden dann addiert.
Lies dir am besten den Artikel durch.

Wenn du das Taylorpolynom ausgerechnet hast. Setzt du für x dann 2 bzw. -2 ein und approximierst dies somit.

Noch ein Tipp zu der letzten Frage: Man entwickelt das Polynom ja immer um einen Entwicklungspunkt x0.

Das heißt ,dass für den Punkt x-> x0 der Fehler durch die Approximation(Unterschied zu f(x) ) am geringsten wird.

Comments

vielen dank für die hilfe.

ich habe das taylorpolynom : Tf^3 (x, -pi) = -1 +1/2 ( x+pi)^2

ich habe jetzt für x 2 und -2 eingesetzt.

Tf^3 (2, -pi) = 12,21

Tf^3 (2, -pi) = -0,34

was muss ich jetzt machen ? wieso kommt es zu so einem Unterschied?

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Der Tipp hilft dir nicht?

Du hast als Entwicklungspunkt Pi gewählt.

Somit ist die Approximation um Pi herum, also wenn sich x Pi annäher am besten.

2 ist näher an Pi als -2

...

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der tipp hilft mir nicht, ich weiss nicht was ich danach immer machen soll.

ist -2 nicht näher an pi ?

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Du weißt was approximieren heißt?
Approximieren ist das annähern an (in diesem Fall) eine Funktion.

Also kann man sagen,dass wenn man einen Wert in das Taylorpolynom einsetzt,dass dieser Wert dem Wert der Funktion an der selben stelle ähnelt.

Beim Taylorpolynom ist es so, dass du bei Werten die deinem Entwicklungspunkt annähern sehr viel präziser sagen kannst, dass es dem Wert von f(x) ähnelt.

Beispiel:
Sei 5 der Entwicklungspunkt und f(5) = 10 und f(1000 ) = 15

Ich  setze jetzt mal  4.9999 in das Taylorpolynom t(x) ein,dann würde ich vielleicht t(4.9999) = 9,999 erhalten. Setze ich jetzt,aber in das Taylorpolynom 1000 ein. So würde ich eventuell t(1000)= 13 erhalten.

Da 4.9999 näher an 5 ist, ist der Unterschied zum eigentlich Wert geringer als bei t(1000 ).
Weißt du worauf ich hinaus möchte?

Und PI ist ja grade ungefähr = 3.141592654

Jetzt betrachte 2 und -2 . Was ist näher an PI?

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ich verstehe was du gerade gemacht hast.

der entwicklungspunkt ist doch -pi. f(-PI) = -1

deswegen ist t(-2) = -0,34 doch näher als t(2) = 12,21.

oder stimmt das nicht?

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Oh entschuldigung.
Mein Fehler.

Aber die Begründung mit dem Beispiel bleibt die selbe.

-2 ist näher dran an -PI .

Gut ,dass du mitdenkst :)

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Cos(2) = cos(-2)
Wie kommt dann der Unterschied der approximation zustande?

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Habe ich doch vorhin erklärt,  der Wert für 2 ist ungenauer in der Approximation, deshalb der Unterschied.