Question

Welche Ebene, die die x-achse enthält, steht senkrecht auf der Ebene 5x + 5y - 3z = 106?

Mir ist bewusst, dass das Skalarprodukt der der beiden Normalenvektoren der Ebenen 0 ergeben muss.
Damit die Ebenen senkrecht zu einander stehen.

n₁ * n₂ = 0 daraus folgt

$$ \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ -3 \end{matrix} \right) =\quad 0 $$

Und nun zu meiner Frage, warum kann man a = 0 setzen? nur wegen des satzes "die die x-achse enthält"?!

bei a = 0 hätte ich auch die lösung aber ich verstehe nicht, wieso man a = 0 setzen darf.

Answer 1

Und nun zu meiner Frage, warum kann man a = 0 setzen? nur wegen des satzes "die die x-achse enthält"?!

Wenn die Ebene die x-Achse enthält, muss der Normalenvektor der Ebene auf der x-Achse senkrecht stehen,

die x-Achse hat aber den Normalenvektor (1,0,0).

Und wenn man das Skalarprodukt von dem und (a,b,c) bildet, hat man a=0.

Answer 2

(a,b,c ) ist dein Normalenvektor der Ebene. Soll nun die komplette x-Achse in der Ebene liegen, so bildet Normalenvektor der Ebene mit der x-Achse einen rechten Winkel. Daraus lässt sich schließen,dass a= 0 ist,da a die Richtung in Richtung der x-Achse angibt. Diese muss auf jeden fall = 0 sein, sonst erhält man keinen Rechten Winkel. Ich kann das grade nicht bessere beschreiben, aber nehm dir doch mal zwei Stifte, halte den einen so als wäre er die x-Achse in einem 3 Dimensionalen Koordinatensystem. Jetzt nehm den anderen Stift und halte ihn an irgendeine Stelle des ersten Stiftes,aber so,dass der Winkel senkrecht ist. Jetzt verändere den Winkel des 2. Stiftes in dem du ihn weiter Richtung x-Achse neigst. Der Winkel ist nun nicht mehr 90 Grad.
Dein 2. Stift spiegelt den Normalenvektor da und das neigen in Richtung x-Achse(1. Stift) spiegelt das erhöhen von a da.