Muss die Umkehrung einer Funktion bijektiv sein oder genügt injektiv?

Question

Ich wollte fragen, ob die umkehrung einer mathematischen Funktion immer bijektiv sein muss oder auch injektiv sein kann.

Vielen dank und einen schönen abend noch:)

Answer 1

In der Regel werden der Definitionsbereich und der Wertebereich so eingeschränkt, dass Funktion und Umkehrfunktion bijektiv sind und die beiden Bereiche einander entsprechen.

Allerdings sind Wertebereiche auch als 'Wertevorrat' gemeint und können mehr Elemente enthalten, als tatsächlich angenommen werden. Der Definitionsbereich darf dagegen keine Werte enthalten, zu denen kein Funktionswert existiert.

Answer 2

Die Umkehrung einer Funktion ist zwar immer injektiv, sie muss aber keineswegs bijektiv sein, sie muss nicht einmal eine Funkton sein.

Anders ist es, wenn die Umkehrung einer Funktion wieder eine Funktion ist, also eine Umkehrfunktion existiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Funktion bijektiv ist, was wiederum gleichbedeutend damit ist, dass die Umkehrfunktion bijektiv ist.