Potenzreihenentwicklung von f(x)=x+(1/(4-x)) im Punkt xo=0 berechnen.

Question

Ich möchte die Funktion f(x)=x+(1/(4-x)) in eine Potenzreihe um den Punkt xo=0 entwickeln.

Dazu habe ich f(x) abgeleitet, um zu einer allgemeinen Form der Ableitung zu gelangen. Diese wäre f^(k)= 1+k!*(4)^-k-1

Da die erste Ableitung von f(x) ist 1+k!*(4-x) und der 1er nur einmal vorkommt habe ich ihn in meiner allgemeinen Form berücksichtigt. (Muss ich das, oder darf ich ihn weglassen?)

Jetzt habe ich  f^(k) in die Taylorreihe eingesetzt, allerdings steh ich nun an.

n->∞,k=0∑((1+k!*(4)^-k-1)/k!))*x^k

Danke für eure Hilfestellung! :)

Answer 1

f(x)=x+(1/(4-x))                   f(0)=1/4

f ' (x) =1 +(-1)* (4-x)^{-2}   * (-1)          f ' (0) = 1 + 4^{-2}

f ' ' (x) = (-2 ) * (4-x) ^{-3} * (-1) =  2! * (4-x)^{-3}    f ' ' (0) = 2! * 4^{-3}

f ' ' ' (x) = 2 * (-3) * (4-x) ^{-4}  * (-1) = 3!*(4-x)^{-4} 

f⁽⁴) (x) = 3! * (-4) * (4-x) ^{-5}  * (-1) = 4!* (4-x) ^{-5} 

also allgemein f ⁽ⁿ) (x)= n! * (4-x)^{-n-1}    für n>=2   und f⁽ⁿ⁾ (0) = n! * 4 ^{-n-1}

Also Taylorreihe

f(x) = 1/4 + ( 1 + 4^{-2})*x +  2! * 4^{-3}*x^3 / 2! + .....   n! * 4 ^{-n-1}/n! *x^n  

Damit ist die Aufgabe zu Ende, aber schön ist auch dieProbe:

und jetzt die Klammer mit der roten 1 aufgelöst und nach vorn gestellt:

f(x) = 1*x  +  1/4 + 4^{-2})*x +   4^{-3}*x^3 + .....   4 ^{-n-1}*x^n   und das stimmt auch, denn

wenn du jetzt bei allen außer dem 1. Summanden das (1/4) ausklammerst, hast du

f(x) =   1*x  +  1/4 * ( 1 + (x/4) + (x/4)^2 + (x/4)^3 + .....  )

und in der Klammer ist die unendliche geometrische Reihe mit q = (x/4) und 

nach der Formel für die geo Reihe ist der Grenzwert  1 / (1-q) also

hier 1 / ( 1 - (x/4) ) = 4 / (4-x) und das  gibt in die letzte Gl. eingesetzt

f(x) =   1*x  +  1/4 * ( 4 / (4-x) ) =  x  +  1 / (4-x) wie erwartet !