Wert der Reihe (n=2 bis unendlich) ∑2^{1+n} /3^{2n} berechnen. Geometrische Reihe?

Question

Wie berechnet man den Wert der folgenden Reihe?  : _n=2∑2¹⁺ⁿ /3²ⁿ

^{Bitte mit Erklärung zum Rechenweg! !}

                                                                                                

Answer 1

$$\sum_{n=2}^\infty 2^{1+n)/3^{2n)=2\cdot \sum_{n=2}^k \frac{2}{9}^{n) =2 \cdot (-1-2/9\sum_{n=0}^k \frac{2}{9}^{n))=2(-\frac{11}{9} +\frac{1}{1-2/9})=2(-11/9+9/7)=2\cdot 4/63=8/63 $$

Answer 2

Hi,da ich die Antwort von Gast jd131 nicht lesen kann, hier meine Antwort.

Die Reihe ist eine geometrische Reihe. Es sgilt

$$ \sum_{n=2}^\infty \frac{2^{1+n}}{3^{2n}} = 2 \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{2}{9} \right)^n-1-\frac{2}{9} \right] = 2\left[ \frac{1}{1-\frac{2}{9}} - 1 - \frac{2}{9} \right] = \frac{8}{63} $$