Partielle Ableitung 2. Ordnung

Question

Hallo liebe Leute,

es geht um folgende Funktion:

$$ \omega =arctan(\frac { u+v }{ 1-uv } )  $$

Gesucht sind alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung. Ich hänge aber bereits bei der 1. partiellen Ableitung nach u. Mein Ansatz ist Kettenregel für den arctan, wobei ich für die "innere Ableitung" dann die Quotientenregel benutze. Dabei bekomme ich folgendes raus:

$$ { \omega  }_{ u }=\frac { 1 }{ 1+(\frac { u+v }{ 1-uv } )^{ 2 } } \cdot \frac { 1\cdot (1-uv)+v\cdot (u+v) }{ { (1-uv) }^{ 2 } } =\frac { 1\cdot (1-uv)+v\cdot (u+v) }{ 1+(\frac { u+v }{ 1-uv } )^{ 2 }\cdot { (1-uv) }^{ 2 } } $$

Laut Lösungsangabe soll da $$ \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 }  $$ herauskommen. Da bin ich ja nun leider weit davon entfernt. Wo liegt mein Fehler?

Dankesehr!

Answer 1

Mach mal erst im Nenner um den Nenner, der vom arctan stammt eine Klammer.
Rechne dann im Zähler zusammen und bei dem Bruch im Nenner   zähelr^2 / nenner^2

( v^2 + 1) / (  ( 1 + (u+v)^2/(1-uv)^2 ) * ( 1 - uv)^2 )  also kannst im Nenner schon mal kürzen mit ( 1 - uv)^2

=  ( v^2 + 1) / (   1* ( 1 - uv)^2 + (u+v)^2  )
dann geht es wohl

Comments

Vielen Dank erstmal! Soweit konnte ich das nachvollziehen. Ich komme allerdings immer noch nicht so recht auf das Endergebnis.

$$ \frac { { v }^{ 2 }+1 }{ (1+\frac { (u+v)^{ 2 } }{ (1-uv)^{ 2 } } )\cdot (1-uv)^{ 2 } } =\frac { { v }^{ 2 }+1 }{ (1-uv)^{ 2 }+\frac { (u+v)^{ 2 }\cdot (1-uv)^{ 2 } }{ (1-uv)^{ 2 } }  } =\frac { { v }^{ 2 }+1 }{ (1-uv)^{ 2 }+(u+v)^{ 2 } } =\frac { { v }^{ 2 }+1 }{ 1-2uv+(uv)^{ 2 }+{ u }^{ 2 }+2uv+{ v }^{ 2 } } =\frac { { v }^{ 2 }+1 }{ 1+u^{ 2 }\cdot v^{ 2 }+{ u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } }  $$

Wie mache ich denn ab da weiter, um auf das Endergebnis zu kommen?

---

Nenner
1* ( 1 - uv)² + (u+v)²

Du multiplizierst aus
1 - 2uv + (uv)^2 + u^2 + 2uv + v^2
1 + (uv)^2 + u^2 + v^2

und nun eine Polynomdivison mit dem Zähler
1 + (uv)^2 + u^2 + v^2 : v^2 + 1

ergibt 1 + u^2

---

(v^2 + 1 )    /    (     1 + u^2 v² + u² + v² 

=

(v^2 + 1 )    /    (     1 + v^2 + u^2 v² + u²  )

= (v^2 + 1 )    /    (     1 + v^2 + u^2 ( v² +1)  )

= (v^2 + 1 )    /    (   1* (1 + v^2) + u^2 ( v² +1)  )

= (v^2 + 1 )    /    (  ( 1+u^2 ) (1 + v^2) ) und dann kürzen !