Bilden Sie 1. Ableitung folgender Funktionen: Produkt und/oder Kettenregel?

Question

Ich bin mir manches mal nicht sicher ob ich die Produkt-, od. die Kettenregel anwenden soll
d(x)= sin(4x+5)   d´(x)=cos(4x+5)*4 ??    
e(x)=3cos(1/3x²)  e´(x)=Produkt od. Kettenregel???    
f(x)=-3*5^{x^2+2}   f(x)=?? darf man die -3 mit 5 multiplizieren?? 
g(x)=(x²+2)*e^-4x   g(x)=??

Answer 1

Hi,

 

Die Ableitung zu d(x) ist völlig korrekt.

 

e(x) -> Nein, hier braucht es nicht unbedingt die Produktregel. Produktregel bei der Form u(x)*v(x).
3 ist aber konstant. Also nicht nötig.
Kettenregel sehr wohl (wegen Argument des Kosinus):

e(x)=3cos(1/3x²) -> e'(x)=-2x*sin(1/3*x²)

 

f(x) -> Gut, dass Du das nicht gemacht hast. Nein, die -3 und die 5 kannst Du nicht miteinander multiplizieren. Einmal wirkt der Exponent auf die 5, einmal  nicht (auf die -3).

Schreibe 5^x²+2 als e-Funktion: e^{(x²+2)*ln(5)}

f(x)=-3*5^x²+2=-3*e^{(x²+2)*ln(5)}          -> f'(x)=-3*2x*ln(5)*e^{(x²+2)*ln(5)}=-6x*ln(5)*5^x²+2

 

g(x) -> Hier brauchts nun auch die Produktregel ;).

g(x)=(x²+2)*e^-4x  ->  g'(x)=2x*e^-4x+(-4)*(x²+2)*e^-4x=(-4x²-8+2x)*e^-4x

 

 

Klar?

Comments

g´(x)= (2x*e^-4x)+(x²+2*(-4e^-4x))   kann man den das -4 von -4e^-4x einfach so trennen                                      g´(x)=2x*e^-4x+(-4)*(x²+2)*e^-4x

---

Du hast ein Produkt mit 3 Faktoren. Die Faktoren kannst Du beliebig hin- und herschieben ;).

 

(x²+2)*(-4)*e^-4x=(-4)*(x²+2)*e^-4x

 

Einverstanden? ;)

 

 

 

g´(x)= (2x*e^-4x)+(x²+2)*(-4e^-4x)

Bei Dir fehlt da auch eine Klammer.

Answer 2

Am Besten ist es, wenn du bei komplizierten Funktionen Stück für Stück vorgehst!
Für d(x) = sin(4x+5) kannst du zum Beispiel schreiben:

d(x) = a(b(x)) mit a(x) = sin(x), b(x) = 4x+5.

Dann lautet die Kettenregel: d'(x) = a'(b(x)) b'(x)
Das kann man nun Schritt für Schritt ausrechnen!

a'(x) = cos(x) ⇒ a'(b(x)) = cos(4x+5)

b'(x) = 4

⇒ d'(x) = 4*cos(4x+5)

Dein Ergebnis ist also richtig.

 

e(x) = 3cos(1/3x²)

Hier wählst du: e(x) = a(b(x)) mit a(x) = 3cos(x) und b(x) = 1/3x²

a'(x) = -3sin(x)

b'(x) = 2/3 x

⇒ e'(x) = a'(b(x)) * b'(x) = -3sin(1/3 x²) * 2/3 x = -2x sin(1/3 x²)

 

f(x) = -3*5^x²+2

Erstmal: nein, man darf die 3 und die 5 nicht miteinander malnehmen, weil die 5 ja noch einen Exponenten hat.

Du kannst wieder zerlegen:

f(x) = a(b(x)) mit a(x) = -3*5^x und b(x) = x²+2

Jetzt gilt: a'(x) = -3*ln(5)*5^x und b'(x) = 2x

also: f'(x) = -6x * ln(5)* 5^x²+2

 

g(x) = (x²+2)*e^-4x

Hier kannst du sogar zwei Schritte machen:

g(x) = a(x)*b(x) mit

a(x) = x²+2

b(x) = c(h(x)) mit c(x) = e^x, h(x) = -4x

Jetzt gilt nach der Produktregel:

g'(x) = a'(x) b(x) + a(x) b'(x)

und nach der Kettenregel:

b'(x) = c'(h(x)) * h'(x)

also:

a'(x) = 2x

c'(x) = e^x, h'(x) = -4
⇒ b'(x) = -4e^-4x

⇒ g'(x) = 2x*e^-4x + (x²+2)*(-4)*e^-4x

= (-4x² + 2x - 8) e^-4x