Nullstelle von einer kubischen Funktion berechnen: f(x) = x³ -2x²+0,2x+1

Question

Ich muss von einer kubischen Funktion die Nullstelle berchnen. Das ist  normalerweise würde ich einfach pq machen und fertig, aber diese hat ein x-loses Glied am Ende.

f(x) = x³ -2x²+0,2x+1

Extremwerte wären kein Problem, da bei der Ableitung die 1 wegfällt, aber Nullstelle? Wenn ich halt ganz normal x ausklammere, dann steht hinter der Klammer noch +1. Das heißt das x vor der Klammer müsste so sein, dass die Klammer -1 ergibt oder nicht?

Answer 1

f(x) = x^3 - 2·x^2 + 0.2·x + 1

Hier gibt es keine ganzzahlige Nullstelle, weshalb Polynomdivision nicht möglich ist. Über das Newtonverfahren erhält man die einzige Nullstelle bei

x = -0.5845367027

Man kann zeigen, dass dies die einzige ist über die Untersuchung der Extrempunkte.

Comments

Wenn  man mal die unscharfe Numerik außen vorlässt und es klassisch analytisch löst, dann ergibt sich, was die Art der Lösungsmenge angeht, folgendes:

Vorfaktoren vor der Lösungsvariable sind:

a = 1, b = -2 , c = 0,2 und d = 1

Unter Berücksichtigung der linearen Transformation kann man eine reduzierte kubische Gleichung erzeugen, in der nur noch 2 Faktoren (p und q) vorkommen: y³ + 3p*y + q = 0

mit p = 3ac - b² und q = 2b³ - 9abc + 27a²*d

-> p = 3*1*0,2 -(-2)² = -3,4 und q = 2*(-2)³ - 9*1*(-2)*0,2 + 27*1²*1 = 14,6

Die Diskriminante D ist definiert zu q² + 4*p³  -> D = (14,6)² + 4*(-3,4)³ > 0

Es ist definiert, wenn D > 0 ist, dann existieren neben einer reellen Lösungen noch zwei weitere Lösungen (komplexe).

Answer 2

Das hat nur eine ziemlich krumme Nullstelle bei
x ungefähr -0,6.
Da geht wohl nur was mit Näherungsverfahren (Newton oder so).