Aufgabe:
Gegeben ist die reelle Funktion \( \mathrm{f} \) mit der Gleichung
\( f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+3 x \quad \text { und } D_{f}=R \)
Der Graph der Funktion f im kartesischen Koordinatensystem heißt \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \).
2.1 Geben Sie die Gleichung der Funktion \( \mathrm{f} \) als Produkt aus Linearfaktoren an.
2.2 Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft.
2.3 Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \( \mathrm{t} \) an der Stelle \( \mathrm{x}=-1 \) und geben Sie den Steigungswinkel \( \alpha \) an.
2.4.0 Gegeben sei weiterhin eine quadratische Funktion \( \mathrm{p} \) mit der Gleichung
\( \mathrm{p}(\mathrm{x})=-\frac{8}{3} \mathrm{x}^{2}+\frac{25}{3} \mathrm{x} \text { und } \mathrm{D}_{\mathrm{p}}=\mathbf{R} \)
Der Graph der Funktion p im kartesischen Koordinatensystem heißt \( \mathrm{G}_{\mathrm{p}} \)
2.4.1 Begründen Sie, dass sich die Graphen \( G_{f} \) und \( G_{p} \) an der Stelle \( x=4 \) berühren.
2.4.2 Die Normale \( \mathrm{n} \) im Wendepunkt des Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) schneidet den Graphen \( \mathrm{G}_{p} \) im Koordinatenursprung und in einem weiteren Punkt \( \mathrm{S} . \) Geben Sie die Gleichung der Normalen \( \mathrm{n} \) und die Koordinaten des Schnittpunktes S an.
