Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. Extremstellen. Ganzrationale Funktionen: f(x) = 1/3·x^3 - 4x mit D_{f} = R.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die reelle Funktion \( f \) durch die Gleichung

\( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-4 x \quad \text { mit } D_{f}=R \)

Der Graph der Funktion f im kartesischen Koordinatensystem heißt \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \).

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \( \mathrm{f} \).

Berechnen Sie die Extremstellen des Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) und bestimmen Sie deren Art.

Begründen Sie, dass die Gerade \( t \) mit der Gleichung \( t(x)=-4 x \) die Wendetangente an den Graphen \( G_{f} \) ist.

Der Graph \( G_{f} \), die Abszissenachse und die Gerade \( x=1 \) begrenzen eine Fläche im vierten Quadranten vollständig.

Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Answer 1

Hallo :)

f(x) = 1/3 x²-4x

Nullstellen: hier gibt es nen Trick. Du hast nur Terme mit x, also kannst du ausklammern:

x(1/3x²-4) = 0

Also MUSS ein Faktor Null sein. Jetzt musst du jeweils Werte in der Klamer finden, damit der Term in der Klammer null ergibt (Nullprodukt). Jetzt nimmst du dir also diesen Term und bestimmst deren Lösungsmenge. Diese ist dann 1/3x² = 4, also x² = 12 und x = ±√12.. Somit hast du schon mal die NST.

____________________________________________________________________________________

Nun bilden wir die erste Ableitung von f:

f'(x) = x² -4

0 = x²-4 => x² = 4 => x = ±2

Also sind die Extremstellen E12 = 2 und E2 = -2. 

Für die Art bestimmen wir nun f''(x):

f''(x) = 2x 

Das erste ist somit ein Tiefpunkt, das zweite ein Hochpunkt nach Definition:

f''(e) > 0 => Tiefpunkt

f''(e) < 0 => Hochpunkt 

__________________________________________________________________________________

Wendepunkt: (0|0) 

=> in f'(x) eingesetzt sieht man, dass die Steigung m = -4 ist. 

Das Einsetzen von WP und m in t(x) = mx+b ergibt t(x) = -4x.

___________________________________________________________________________________

Schau dir dies mal an, das ist das Bild, was in Aufgabe 4 entsteht:

Das blaue ist dein Graph, das Grüne x=1. der vierte Quadrant ist unten rechts. Abszisse ist die x-Achse. Da siehst du auch diese eingeschlossene Fläche. Du musst also das Integral von 0 bis 1 von f(x) berechnen:

F(x) = 1/12x⁴ -2x²

₀∫¹(f(x)) dx = [0] - [1/12-2] = -1,92 => Betrag nehmen, also A = 1,92 FE (Flächeneinheiten).

___________________________________________________________________________________

Ich hoffe das hat etwas geholfen, bei Fragen melde dich :)

Comments

Also bei den Nullstellen ausgeklammert        x(1/3x^2-4)  da wird ja das x vor der Klammer auch Null oder? Ist das nicht auch eine Nullstelle? und bei dem Rest 1/3x^2=4 muss man da nicht 4 durch 1/3 teilen um x^2 zu erhalten?
Wäre cool wenn du es mir noch mal erklären könntest

---

Ja genau, 0 istz auch eine Nullstelle - hab ich das nicht geschrieben? Ich hab nur gesagt dass ein Faktor Null ist - natürlich ist das auch eine Nullstelle, sorry.

Ja, das habe ich getan: 4/(1/3) = 4*3 = 12

Ich hoffe dass es jetzt etwas klarer ist :)

lg

---

ja ok Danke, ich muss aber nochmal nerven :) bei Aufgabe 2.3 warum kommt da bei t(x) -4x raus also ich meine das x , bei mir kommt da irgendwie nur -4 raus aber der Fehler liegt sicher bei mir (Danach lass ich dich sicher in ruhe) ;D

---

Du nervst nicht keine Sorge :))

Die Steigung ist doch -4, nicht wahr? Das ist aber nur die Steigung. Setzen wir die Steigung und den WP mal in y = mx+b ein. Dann hast du b = 0, und deine Gleichung lautet

t(x) = -4x

Du hast ja eine Geradengleichung einer Tangente (die hat ja hier eine Steigung von -4), da braucht es eine unabhängige Variable x. Die ist zwar bei waagerechten Tangenten auch da, aber da ist m=0 und deshalb entfällt der Term mit x.

Ich hoffe du hast es jetzt verstehen können :))

---

Alles klar Vielen Vielen Dank du hast mir echt weiter geholfen!!! ;D

---

das freut mich sehr, danke dir für die Auszeichnung! :)

Answer 2

Also normalerweise solltest du keinen ärger mit dem Lehrer bekommen,wenn du Aufgaben als zu schwer empfindest,solange du versucht hast die zu bearbeiten .

Wo gibt es denn Probleme?
Nullstellen bestimmen ist doch wohl klar oder nicht? 0 = f(x) und dann x berechnen.

Extremstellen : f(x) ableiten und gleich 0 setzen. Art der Extremstellen f''(x) bilden und die Extremstellen einsetzen und schauen,ob x positiv oder negativ ist.

Wendetangente: Erstmal Wendestelle(n) berechnen . f'(x) = 0 berechnen und schauen,ob an diesen Stellen f''(x) ungleich 0 ist .

Jetzt schauen ob der Graph an der Wendestelle die Steigung -4 besitzt. Und ob der Punkt P der Wendestelle auf der Tangenten liegt.

Abszissenachse ist die x-Achse. Der 4. Quadrant ist der Quadrant unten rechts. x = 1 ist eine Parallele der x-Achse . (Skizzen machen )
Also Integral von 0 bis 1 von f(x) berechnen.

Ich glaube auch die Aufgabe wurde hier vor ein paar Tagen gestellt, finde sie aber grade nicht.

Comments

der vierte quadrant ist unten rechts
http://www.mathe-online.at/materialien/maria.hackenberger/files/Negative_Zahlen/Quadranten.jpg

---

Habs editiert, Flüchtigkeitsfehler.

Habs nur falsch geschrieben, die Integrationsgrenzen stimmen aber.

Danke.

---

ach,kann passieren ;)

wollte nur drauf hinweisen, nicht dass es für unsicherheiten beim fragesteller kommt, wäre ja spätestens aufgefallen wenn er seine grenzen negativ hätte nehmen wollen anstatt wie du angegeben hast positiv ;)

gerne.

mfg Subis

---

Kannst du mit den Rechenweg hinschreiben ich weiß immer nicht wie ich beginnen soll; und das Ergebnis weil ich glaub das meine Berechnungen der totale Müll sind.

Wäre ganz nett.

---

Also meine Nullstellen sind:
X1= -2*√3

X2=2*√3

X3=0

Extremstellen:

XE1=-2

XE2=2

Wendetangente:

XW1=0     PW1=(0I0)

dazu hab ich noch eine Frage wie soll ich das Begründen? (Aufgabenstellung)

Ist es soweit richtig?

---

Extremstellen und Nullstellen sind richtig.
Was für Extremstellen das sind musst du noch aufschreiben(Minima Maxima)

Okay du zeigst einmal mit P(0|0),dass die Tangentengleichung wirklich auf dem Graphen liegt.
Jetzt musst du noch zeigen,dass im Punkt (0|0 ) Graph und Wendetangente die selbe Steigung haben.