Zeigen: exp(x) - 1 = 1/(1+x^2) hat eine Lösung

Question

Aufgabe:

exp(x) - 1 = 1/(1+x²)

Muss man die linke bzw. die rechte Seite so umformen, dass auf beiden Seiten dasselbe steht?

Comments

Umstellen ist nicht so einfach und auch nicht nötig. Kennst du einen "Zwischenwertsatz" ? Vielleicht geht's damit viel schneller.

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Ja, ich denke schon.

Meinst du f(x) - g(x)?

Also würde es so aussehen:

exp(x) - 1 - (1/(1+x^2))

Soll man dann versuchen, das nach x aufzulösen?

Mein Problem wäre hier dann, dass ich kein Intervall habe. :c

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Wenn schon

Nullstellen von h(x) = exp(x) - 1 - (1/(1+x²)) suchen.

Dazu musst du die Unstetigkeitsstellen von h(x) kennen. Und innerhalb von einem der Intervalle, in denen h(x) stetig ist, einen neg. und einen pos. Funktionswert finden. Das genügt dann als Beweis für die Existenz einer Lösung.

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h(0) = -1 <0
h(1) = e - 3/2 > 0

Reicht das schon als Lösung, natürlich mit Rechenschritte?

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Wenn du noch begründest, dass zwischen 0 und 1 keine Unstetigkeitsstelle vorhanden ist, bist du fertig.

Answer 1

Zwischenwertsatz benutzen.

Hier die Beweisskizze damit:

"Meinst du f(x) - g(x)? 

Also würde es so aussehen: 

exp(x) - 1 - (1/(1+x²)) "

Wenn schon

Nullstellen von h(x) = exp(x) - 1 - (1/(1+x²)) suchen. 

Dazu musst du die Unstetigkeitsstellen von h(x) kennen. Und innerhalb von einem der Intervalle, in denen h(x) stetig ist, einen neg. und einen pos. Funktionswert finden. Das genügt dann als Beweis für die Existenz einer Lösung.

 Kommentiert vor 30 Minuten von Lu   h(0) = -1 <0 
h(1) = e - 3/2 > 0 

Reicht das schon als Lösung, natürlich mit Rechenschritte? Kommentiert vor 23 Minuten von Gast  

Wenn du noch begründest, warum zwischen 0 und 1 keine Unstetigkeitsstelle vorhanden ist, bist du fertig.