Bestimmung von Monotonie und Konkavität

Question

Sei

ƒ: (-1, 1) → ℝ, x ↦ ƒ(x) = x^{5 _} x³

^{Bestimmen Sie die Bereiche, in denen ƒ monoton fallend bzw. steigend ist} 

^{Bestimmen Sie die Bereiche, in denen ƒ konkav bzw. konvex ist}

Answer 1

Monotonie bekommst du mit der 1. Ableitung.
Wenn f ' (x) > 0 ist, dann ist f dort monoton steigend.

also  f ' (x) = 5x^4 - 3x^2 =  5*x^2 * ( x^2 - 0,8 )  =  5*x^2 * (x-wurzel(o,8)) * ( x+ wurzel(0,8) )
An dieser Faktorisierung siehst du, da 5x^2 nie negativ ist
f ' (x) < 0 ist nur gegeben für  (x-wurzel(o,8)) > 0   und ( x+ wurzel(0,8) ) < 0
                  oder umgekehrt     (x-wurzel(o,8)) < 0   und ( x+ wurzel(0,8) ) > 0
Also  für  x zwischen x-wurzel(o,8) und wurzel(o,8)

Krümmung kannst du ähnlich untersuchen mit der 2. Ableitung.

Comments

Und was ist mit den Punkten (-1,1) was für einen einfluss nehmen die?

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Habe ich ganz übersehen, macht aber auch überhaupt keinen Sinn.

Das sollte bestimmt nicht ƒ: (-1, 1) → ℝ,

sondern ƒ:   ℝ→ ℝ, heißen.

Answer 2

f ' ( x ) = 5x⁴ - 3x² = 5*x² * ( x² - 0.8 )

Monotonie > 0
5 * x^2 stets > 0
x^2 - 0.8 > 0
x^2 > 0.8

x > √ 0.8
und
x < -√ 0.8

f ´´ ( x ) = 20 * x^3 - 6 * x
f ´´ ( x ) = x * ( 20 * x^2 - 6 )

Linkskrümmung : f ´´ ( x ) > 0
x * ( 20 * x^2 - 6 ) > 0
+ * + oder
- * -

Fall 1
( x > 0 ) und  ( 20 * x^2 - 6  > 0 )
20 * x^2 > 6
x^2 = 0.3
x > √ 0.3
x < -√ 0.3
Zusammnen mit x > 0 ergibt sich
x > √ 0.3

Fall 2
( x < 0 ) und  ( 20 * x^2 - 6  < 0 )
20 * x^2 < 6
x^2 < 0.3
-√ 0.3 < x < √ 0.3
Zusammnen mit x < 0 ergibt sich
-√ 0.3 < x < 0

x < -√ 0.3 Rechtskrümmung
-√ 0.3 < x < 0 Linkskrümmung
0 < x  < √ 0.3 Rechtskrümmung
x > √ 0.3 Linkskrümmung

Wendepunkte x = -√ 0.3, 0 , √ 0.3

Comments

Hier der Graph Fülltext

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Danke, mir ist jetzt nur nicht klar wie ihr die 0.8 bekommen habt?

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Ich nehme an du meinst dies

f ' ( x ) = 5x⁴ - 3x² = 5*x² * ( x² - 0.8 )

ausgeklammert kann werden
z.B. x  : 5x⁴ - 3x² = x * ( 5x^3 - 3x )
z.B. x^2 : 5x⁴ - 3x² = x^2 * ( 5x^2 - 3 )
z.B. 5  : 5x⁴ - 3x² = 5 * ( x^4 - 0.8 * x^2 )
z.B. 5x^2 : 5x^2 * ( x^2 - 0.8 )

Ich merke gerade da ist ein Fehler in meiner Rechnung.

z.B. 5  : 5x⁴ - 3x² = 5 * ( x^4 - 0.6 * x^2 )
z.B. 5x^2 : 5x^2 * ( x^2 - 0.6 )

Also Korrektur

f ' ( x ) = 5x⁴ - 3x² = 5*x² * ( x² - 0.6 )

Monotonie > 0
5 * x² stets > 0
x² - 0.6 > 0
x² > 0.6

x > √ 0.6 = 0.775
und
x < -√ 0.6 = -0.775