Verständnisfrage zum Rechnen mit komplexen Wurzeln.

Question

meine Frage ist, warum i²= -1 ist und nicht 1? Die imaginäre Einheit i ( = √-1 )kann man auf zwei Weisen quadrieren, soweit ich weiß.

i²= (√-1)²=((-1)^1/2)²=-1

i²=(√-1)²=√-1*√-1=√(-1*-1)= 1

Wieso also -1, das verstehe ich nicht? Kann mir jemand dabei helfen das zu verstehen?

Answer 1

Das liegt daran, dass die Rechenregel ,die du beim zweiten Schritt benutzt nicht gilt für negative Zahlen unter der Wurzel.

Du lieferst ja quasi selbst den Beweis dafür.

Comments

ok, danke erstmal, aber wieso darf man die nicht dafür benutzen? Und inwiefern habe ich den Beweis dafür geliefert?Sorry, dass ich so blöde Fragen stelle, aber ich steh gerade echt auf dem Schlauch^^.

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Du gehst doch davon aus,dass man die benutzen kann. Dann zeigst du,dass durch dieses benutzen zwei verschiedene Ergebnisse für die selbe Rechnung herauskommen.  Damit machst du also einen Widerspruchsbeweis.

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gut das ist ein Widerspruch, aber woher weiß ich denn, welches Ergebnis richtig ist? Warum geht man ausgerechnet davon aus, dass i²=-1 ist? Warum wurde das so festgelegt? Es könnte doch genau so gut die erste Rechnung falsch sein oder? Ich glaube, ich bin kurz davor es zu verstehen :)

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Das hat man sich so festgelegt, damit man die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann.

Wenn i^2= 1 wäre und nicht i^2= -1 so könnte man Wurzel(-1) ja nicht weiter auflösen.

Answer 2

Auch der Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln kannst du entnehmen, dass die üblichen Rechenregeln für Wurzeln nicht gelten, wenn der Radikand neg. ist.

Lies dich dort etwas ein. Da wirst du schnell merken, dass

x^2 = -1 zwei verschiedene komplexe Lösungen hat, die man beide Wurzeln von -1 nennt.

Comments

das gibt es eigentlich nichts zu berechnen oder herzuleiten. Man muss die komplexen Zahlen ja erst mal definieren. Und zur Definition gehört eben, dass i eine komplexe Zahl ist mit i^2)1.

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Gast.

Dennoch hat x^2 = -1 zwei komplexe Lösungen. Vgl. mein Link.