Parabel. Ist das Dreieck S1S2B rechtwinklig und gleichschenklig? S1,S2 Scheitelpunkte.

Question

habe hier eine Aufgabe:

Eine Parabel p1 mit dem Scheitelpunkt S1 hat die Gleichung y=x²-4x+1.
Die nach oben geöffnete Normalparabel p2 mit dem Scheitelpunkt S2 geht durch die Punkte A(-5/8) und B(0/3).

Patricia zeichnet das zugehörige Schaubild und gewinnt den Eindruck, das Dreieck S1BS2 sei gleichschenklig und rechtwinklig.

Stimmt das?

- So und ich weiß nicht genau was ich berechnen soll.

Habe für S1 den Scheitelpunkt S(2/-3) raus und für S2 (2,5/1,75)

Answer 1

Um eine Angabe über S1BS2 machen zu können brauchen wir S2.

f1(x) = x^2 - 4x + 1
S1x = -b/(2a) = 4/(2*1) = 2
S1y = f1(2) = -3

 

f2(x) = x^2 + bx + c

A(-5/8) --> f2(-5) = 8 --> 25 - 5b + c = 8 --> 5b - c = 17
B(0/3) --> f2(0) = 3 --> c = 3

5b - 3 = 17
5b = 20
b = 4

f2(x) = x^2 + 4x + 3

S2x = -b/(2a) = -4/(2*1) = -2
S2y = f2(-2) = -1

 

S1(2|-3) B(0|3) S2(-2|-1)

Ich berechne hier die Seitenlängen

S1B = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = √40
S1S2 = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = √20  
BS2 = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = √20

Gleichschenklig sieht man,. Damit es rechtwinklig ist muss der Satz des Phytahgoras gelten

√20^2 + √20^2 = √40^2

Auch das Stimmt. Also schaut Patricia richtig.

Comments

Vielen vielen Dank. Konnte es sofort richtig nachrechnen. Wollte nur noch kurz fragen, ob es noch einen anderen Weg gibt herauszufinden, ob es rechtwinklig etc. ist.

 

 

LG Jessi

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Die beiden Seiten die Senkrecht zueinander sind, bei denen beträgt das Produkt der Steigungen -1.

Da man aber eh die Seitenlängen bestimmen muß um zu sehen obs gleichschenklig ist habe ich das eher genutzt.

Answer 2

P1   f(x)= x² -4x+1        die Normalform in dei Scheitelpunktform bringen, durch quadratische Erweiterung

        f(x) =x2-4x +4 +1 -4

        f(x) =(x-2)² -3          S1  ( 2|-3)

P2   ist eine Normalparabel , also ist a=1

        f(x)= x²+bx+c        nun die Punkte als wertepaare einsetzen

          8= 25-5b+c

          3= 0+0+c           c=3       und b = 4

       f(x) = x²+4x+3     wieder in die Scheitelpunktform bringen

              =(x+2)²-1        S2 (-2|-1)

Mit Hilfe des Pythagoras und der steigungdreiecken (siehe Skiu´zze ) erhält man

BS1 = √(2²+6²)  =√40

S1S2= √(2²+4²)=√20

S2B= √(4²+2²) =√20

 wenn nun a²+b²=c² liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor 

√40² = √20² +√20² ⇒   40=20+20         40=40    

Es ist ein  gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck.

 

 

Answer 3

Falls du Vektorgeometrie kennst, kannst du auch kürzer argumentieren: 

(Ich schreibe hier Vektoren fett. Ergänze Pfeile über den Symbolen und schreibe Komponenten untereinander.)

S1(2|-3) B(0|3) S2(-2|-1)

Die Seiten-Vektoren sind

S1B = (-2|6)

S2B = (2| 4)

S1S2 = (- 4|2)

Weil Vektor (a|b) immer senkrecht ist auf Vektor (-b|a), und die beiden gleich lang sind, gilt:

Die beiden letzten Vektoren sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. 

Deshalb handelt es sich um ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. fertig!

 

Zusatzbemerkung:

"Vektor (a|b) immer senkrecht ist auf Vektor (-b|a)"

kann man mit dem Skalarprodukt prüfen: (a|b)*(-b|a) = -ab + ab = 0.