Relative, Absolute Extrema f(x)= ((x-2)(x+5))^n. f ' (x) = n(x^2 + 3x -10)^{n-1}*(2x+3)

Question

Hallo an alle!!!

kann mir jemand erklären wie ich die relativen und die absoluten Extrema raus bekommen soll. Am besten an den Beispiel den ich gerade versuche zu lösen.

$${ f }(x)={ ((x-2)(x+5)) }^{ n }\quad \quad \quad n\quad \in \quad N ,\quad n\quad \ge \quad 2,\quad x\quad \in \quad (-6,6)$$

ich habe die erste Ableitung gebildet.

$${ f }(x)={ ({ x }^{ 2 }+3x-10) }^{ n }\quad \quad { f }^{ ' }(x)={ n({ x }^{ 2 }+3x-10) }^{ n-1 }(2x+3)$$

Was muss an jetzt tun gleich 0 setzen oder die die Werte -6,6 einsetzen?

Gruß

Anderlin

Answer 1

f ' (x) = n(x^2 + 3x -10)^{n-1}*(2x+3)

= n((x-2)(x+5))^{n-1}*(2x+3)

"Was muss an jetzt tun gleich 0 setzen oder die die Werte -6 und 6 einsetzen?"

Beides!

1. Du musst die Ableitung Null setzen, wobei dich nur x-Werte zwischen -6 und 6 interessieren.

2x+3 = 0 → x1 = -3/2

x2=2 ist n-1 fache Nullstelle der Ableitung

x3 = -5 ist n-1 fache Nullstelle der Ableitung

Berechne nun f(-3/2), 

f(2) und f(-5) sind nur nötig, wenn n-1 ungerade ist. 

2. Danach noch x=-6 und x=6 einsetzen, um zu kontrollieren, ob dort vielleicht noch ein extremerer y-Wert rauskommt. Wenn da wirklich runde und keine eckigen Klammern stehen, ist es möglich, dass im verlangten Bereich kein absolutes Extremum existiert.

Anmerkung: Steht da wirklich "relatives" und "absolutes" Extremum und nicht "lokales" und "globales" Extremum?

Comments

Hi Lu,

erstmal vielen DANK. Du bist der erste der mir eine klare Erklärung liefert. Ich werde mich sofort dran setzen und es so machen. Ja in der Aufgabe steht absolute und relative Extrema. Die Klammern sich auch offen. Also nicht [ ].

Gruß

Anderlin

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"absolut" heisst ja wohl "betragsmässig". Da ist eigentlich schon mal klar, dass an den Nullstellen der Funktion der Absolutbetrag minimal (also extremal) ist. D.h. bei x = 2 und x=-5 ist f(x) absolut extremal. 

Bei x=-3/2 müsste dann ein absolutes (lokales) Maximum vorliegen. f(-6) und f(6) zum Vergleich noch hinzuziehen. (Liegen aber nicht im betrachteten Bereich).

Wie oben beschrieben musst du noch einiges rechnen. 

Schau vielleicht noch nach, wie ihr "relativ" genau definiert habt.

EDIT: "absolut" ist hier wohl doch einfach als global zu lesen. ("relativ" als lokal), wie ich das in meiner ursprünglichen Antwort getan habe. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=global+extremum&lk=1&a=ClashPrefs_*MathWorld.GlobalExtremum- https://www.wolframalpha.com/input/?i=global+extremum&lk=1&a=ClashPrefs_*MathWorld.GlobalExtremum-

Vergiss also den Kommentar und halte dich an das, was zuerst geschrieben habe.

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Hi und sorry dass ich so lange brauche um zu antworten.

So weit habe ich die Schritte verstanden und auch selber nachgerechnet. Eine Frage aber zu x_2 und x_3 also 2 und -5. Wieso nur einsetzten wenn n-1 ungerade wird?

Nach einsetzten von -3/2 kam -49/4 raus und für -6 kam 8^n so wie für 6 kam 44^n

Bei (-3/2;-49/4) liegt dann ja ein absolutes bzw. globales Minimum? 

Tut mir echt leid ich tue mich total schwer mit diesen Extrema.

Gruß

Anderlin

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Jeder Punkt hat einen x- und einen y-Wert. Die x-Werte hatte ich schon angegeben. Du solltest du y-Werte berechnen und dann x-Wert mit y-Wert kombinieren, um die Punkte anzugeben.

Dann diese Punkte alle in einem Koordinatensystem einzeichnen. Grob verbinden und entscheiden, welches Extrema sind.

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$$f(-\frac { 3 }{ 2 } )={ ((-\frac { 3 }{ 2 } -2)(-\frac { 3 }{ 2 } +5)) }^{ n }={ (-\frac { 49 }{ 4 } ) }^{ n }$$

$$f(-6)={ ((-6-2)(-6+5)) }^{ n }={ 8 }^{ n }$$

$$f(6)={ ((6-2)(6+5)) }^{ n }={ 44 }^{ n }$$

Man könnte ja auch die zweite Ableitung bilden und die Punkte einsetzen um zu gucken ob dass maxima oder minima sind oder nicht? Das Problem ist, dass ich in der Klausur keine Zeit haben werde eine Zeichnung anzufertigen bzw. überhaupt keine Zeichnung machen soll um zu entscheiden. Sondern rein rechnerisch.

Gruß

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Du vergisst f(2) und f(-5), die aber beide sowieso 0 sind. 

Wenn die 2. Ableitung 0 ist, nützt dir die ja nichts. Da ist es besser, wenn du eine Vorstellung von der Grössenordnung der Funktionswerte hast und die Theorie über die Vielfachheit von Nullstellen verstanden hast. 

44^n ist dann das globale Maximum

44^n, 8^n und (-49/4)^n sind lokale Maxima, wenn n gerade.

0 an den Stellen x=2 und x=-5 sind die lokalen und globalen Minima.

Für n ungerade ist 

(-49/4)^n globales und einziges lokales Minimum.

44^n ist globales Max. und 

44^n und 8^n sind lokale Maxima.

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Stimmt nach dem ich mir das jetzt hingezeichnet  habe, sehe ich das jetzt deutlich. Ich denke ich habe das jetzt verstanden, zu mindestens so dass ich damit üben kann. Danke noch ein mal für deine Hilfe. Wie gesagt, deine Erklärung ist die einzige die ich verstanden habe.

Gruß

Anderlin