Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren: ∫ 1 / √(x-x^2) dx

Question

a) Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren:

(i) \( \int \limits_{1}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x^{\alpha}} d x \), wobei \( \alpha>1 \),

(ii) \( \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}} d x \)

b) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(i) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{-\alpha} \), wobei \( \alpha \in \mathbb{R} \),

(ii) \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)} \).

Answer 1

hallo

hab das 2. Integral auf "gewöhnlichem Weg " mal schnell berechnet.

Ein Ergebnis habe ich , nämlich PI.

Comments

Also berechnet man bei den integralen diese einfach um auf Existenz überprüfen

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ja und die 1. Aufgabe kanns t Du dann mit part. Ingegration lösen.

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Was passiert denn mit der Wurzel im Nenner? Dass du die 2 davorziehst verstehe ich, allerdings sehe ich nicht weswegen die Wurzel bei \(1-4z^2 \) verschwindet.

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Ich denke mal, dass Grosserloewe die Wurzel nur vergessen hat.
Er benutzt ja dann auch die Stammfunktion \(\arcsin(v)\), und das ist eine Stammfunktion von \(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\).

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Ok, alles klar. Jetzt muss ich noch herausfinden wie man da drauf kommt. Im Forster ist der Beweis dazu leider nicht dabei. Wir haben im Skript nur stehen, dass
$$ \int _{ -1 }^{ 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } dx=\frac { 1 }{ 2 } \cdot \arcsin { \left( y \right) \overset { 1 }{ \underset { -1 }{ | }  }  }  } =\frac { \pi  }{ 2 }  $$
ist.

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Bei mir sieht's so aus:
$$ 2\cdot \int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  }  } dx $$
Und irgendwie sehe ich im Erweitern auch keinen Sinn:
$$ 2\cdot \int _{ -1 }^{ 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } \cdot \frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 2 } } dx $$

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Bzw. kenne ich die Stammfunktion von meinem ersten Faktor, allerdings nicht die vom zweiten. Und eigentlich dürfte ich ja nur den ersten Faktor dort stehen haben. Der zweite wirkt sich somit ja anscheinend nicht drauf aus. Die Frage ist halt nur wie ich das zeige.

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Hallo

ja sorry, ich hab alles richtig gerechnet und die Wurzel nur vergessen hinzuschreiben.

Danke 10001000 Nick1

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Ok :)
Könntest du mir eventuell bei der ersten Aufgabe dazu helfen? Habe es wie du gesagt hast mit der partiellen Integration versucht, komme allerdings nicht weiter. Habe die Frage mit meinem Ansatz gepostet:
https://www.mathelounge.de/202609/stammfunktion-per-partielle-integration

Answer 2

Also zu den Reihen:

Bei der ersten einfach eine Fallunterscheidung machen :

n^{-a}= 1/(n^a)

Für a<1 konvergiert die Reihe.

Für 0=a<=1 divergiert die Reihe.

Für a<0 gilt  für die Folge n^{-a} = n^b wobei b Element der natürlichen Zahlen ist. und somit divergiert die Reihe,da die Folge n^b keine Nullfolge ist.

Da hatten wir zumindest auch so als Satz in der Vorlesung.(Geometrische Reihe etc.)

Beim 2.

Betrachte ln(n) < n

Also folgt 1/n*ln(n) > 1/(ln^2(n))
Jetzt betrachte die Reihe 1/(ln^2(n)) . Du kannst hier das Majorantenkriterium benutzen.

Comments

Das 2. ist keine geometrische Reihe.
Bei einer geom. Reihe ist die Basis konstant und der Exponent der Laufindex. Hier ist es genau umgekehrt,

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Vergiss das 2. .Das was ist geschrieben habe ist falsch.