Vektoren in einer Pyramide berechnen. Ebenenschar. Gleichung der Geraden.

Question

Aufgabe:

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \( A(3|0| 0) \), \( B(3|3| 6,5), C(0|0| 2), S(4|0| 2) \) gegeben. Die Punkte sind die Eckpunkte einer Pyramide (siehe Abbildung).

1a) Drücken Sie die Vektoren \( \overrightarrow{A C} \) und \( \overrightarrow{C B} \) durch die Ortsvektoren \( \vec{a}=\overrightarrow{O A} \) \( \vec{b}=\overrightarrow{O B}, \vec{c}=\overrightarrow{O C} \) aus, und bestimmen Sie die Längen der Dreieckseiten \( \overline{A C}=d \) und \( \overline{C B}=e ! \)

1b) Berechnen Sie die Winkel \( \alpha=\angle B A C \) und \( \gamma=\angle A C B ! \)

1c) Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Grundfläche \( A B C \). auf 1D genau!

2. Gegeben ist die Ebenenschar

\( E_{t}: 2 x_{1}-6,5 x_{2}+3 x_{3}+t=0 \text { mit } t \in \mathbb{R} \)

2a) Zeigen Sie, dass eine dieser Ebenen mit der durch die Punkte \( A, B, C \), festgelegten Ebene identisch ist.

2b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes \( S \) von der Grundfläche \( A B C \) der Pyramide.

2c) Bestimmen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide.

3a) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden \( g(B, S) \) auf.

3b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \( D\left(d_{1}\left|d_{2}\right| d_{3}\right) \), der auf den Geraden \( g(B, S) \) liegt und für den \( d_{1}=0 \) ist.

Answer 1

ich versuche mich mal dran...

Bei Aufgabe a sollst du einfach nur die Vektoren von A nach C etc. bestimmen. Dies können nämlich auch Ortsvektoren sein, wenn man die Vektoren an den Ursprung legt...deine Vektoren sind

 $$ \vec{ AC } =  \begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix}  $$

und

$$ \vec{ BC } =  \begin{pmatrix} -3\\-3\\-4,5 \end{pmatrix} $$

Um die Länge der Seiten zu ermitteln, nimmst du die Wurzel der Quadrate der Koordinaten:

d = √(13) = 3,6

e = √(38,25) = 6,2

b) γ = 90°, denn das Skalarprodukt der Vektoren AC und BC ist 0. Berechne dir noch den Vektor AB und dann berechne mit folgender Formel den Winkel α:

$$ α = arccos( \frac { |\vec{ AC * \vec{ AB| } } }{ |\vec{ AC | }*|\vec{ AB }|  } )$$

c) Wir wissen die Länge der Vektoren AC und BC. Dort, am Eckpunkt C, liegt ein rechter Winkel vor. Der Flächeninhalt ist somit einfach nur

$$ \frac { 1 }{ 2 }\cdot(\vec{ AC } \cdot\vec{ BC) }$$

Nummer 2 kann ich gerade nicht...

Nummer 3...als Stützvektor nimmst du dir den Vektor OB, als Richtungsvektor den Vektor BS.

Der Stützvektor ist also $$ \vec{ OB } = \begin{pmatrix} 3\\3\\6,5 \end{pmatrix}$$

Und unser Richtungsvektor ist $$ \vec{ BS } = \begin{pmatrix} 1\\-3\\-4,5 \end{pmatrix}$$

Also ist unsere Gerade:

$$ g: \vec{ x }  = \begin{pmatrix} 3\\3\\6,5 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1\\-3\\-4,5 \end{pmatrix}$$

Ich hoffe dass das meiste stimmt, ich bin erst in der zehnten Klasse und baue gern mal Fehler ein .__.

Trotzdem hoffe ich dass es etwas geholfen hat.