Eine Steckbriefaufgabe. Jetzt kassiere ich wieder Knollen. Es gibt da einen User, für den ist mein Satz ein rotes Tuch
" Alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Dann sagt der
" Stimmt; aber die Lehrer wollen diese Melodie nicht hören. "
Eure Lehrer reden euch systematisch ein, jede Kurve genieße individuelle Freiheiten. Diktat für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft
" Jedes kubistische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. "
Im Übrigen gehen alle Aufgaben, die den schwierigkeitsgrad der Schule haben, mit Schmuddeltricks zu machen.
Ich seh grad; bei dir fallen mir sogar gleich zwei alternative Lösungsstrategien ein. Wenn da doch steht
( x | y ) ( max ) = ( - 2 | 0 ) ( 1a )
( x | y ) ( w ) = ( - 1 | - 2 ) ( 1b )
Dann tust du spiegeln
( x | y ) ( min ) = ( 0 | - 4 ) ( 1c )
Wie ein Trickbetrüger entlockst du dem Aufgabentext Angaben, die explizit gar nicht darin vorkommen. Z.B. ist doch dieser Funktionswert f ( 0 ) Mega wichtig.
Aber systematisch gehe ich anders vor. Mit ( 1a;c ) hast du doch BEIDE Nullstellen der ersten Ableitung:
f ' ( x ) = k x ( x + 2 ) = ( 2a )
= k ( x ² + 2 x ) ( 2b )
Du siehst sicher ein; Tricks verringern die Anzahl der Unbekannten ( Bisher ) nur eine statt 4 )
Was ist zu tun? Aufleiten, ===> Stammfunktion ===> Integral
f ( x ) := k ( 1/3 x ³ + x ² ) + C ( 3 )
Mit der ===> Integrationskonstante C Aus ( 1c ) liest man unmittelbar ab C = ( - 4 )
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ + x ² ) - 4 ( 4a )
Diesen ===> Leitkoeffizienten k nehme ich nicht wirklich ernst; das ist nur eine halbe Unbekannte. Ich mach ihn trotzdem, um unten mit dem zweiten Ansatz vergleichen zu können; setze z.B. W in ( 4a ) ein
k ( 1 - 1/3 ) - 4 = 2/3 k - 4 = ( - 2 ) ===> k = 3 ( 4b )
f ( x ) = x ³ + 3 x ² - 4 ( 4c )
Probe mit dem Hornerschema. Doch nun die Alternative. Du machst den Ansatz
f ( x ) = k F ( x ) ( 5a )
Zunächst einmal ist wichtig: Ein Extremum E ist immer eine Nullstelle gerader Ordnung, also offenbar doppelte. Damit hast du
F ( x ) = ( x + 2 ) ² ( x - x3 ) ( 5b )
mit der ( zunächst ) unbekannten Nullstelle x3 . Worauf will ich hinaus? Eure Lehrer erzählen euch irgendwas von 2. Ableitung und verschweigen wieder das Wichtigste; die " alte Melodie " , wie ich oben schon schrieb. Wieder für Spickzettel und Formelsammlun: Den WP schnitzt ihr euch aus der Normalform F ( x ) in ( 5ab )
F ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 6a )
x ( w ) = - 1/3 a2 ( 6b )
In ( 5b ) kannst du die Klammern entweder auflösen nach der Metode " mühsam ernährt sich das Eichhörnchen "
Ich weiß nicht, was andere empfehlen - ich empfehle Vieta.
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = 4 - x3 ( 7a )
x ( w ) = 1/3 x3 - 4/3 = ( - 1 ) ===> x3 = 1 ( 7b )
a2 = 3 ( 7c )
a0 = - x1 x2 x3 = ( - 4 ) ( 7d )
a1 = ( x1 + x2 ) x3 + x1 x2 = 0 ( 7e )
Bliebe also im Sinne von ( 4c ) nur noch nachzutragen, dass k = 1 ; überlasse ich jetzt dir.
Alternative eins ist eindeutig kürzer und weniger störanfällig.
Zu der zweiten Aufgabe; zunächst mal meinst du einen ===> Terrassenpunkt ( TP )
Was ein Sattelpunkt ( SP ) ist, dafür bist du eindeutig noch zu klein.
Oder du wirst nie matematik studieren - dann brauchst du's sowieso net wissen.
Du rufst jetzt deinen Aaaschitekten an und sagst, hinter dem Haus soll er einen Sonnensattel anbauen.
" Ach ich hab mich versprochen; ich mein doch Terrasse, nicht Sattel. "
Oder auf dem Schild steht
" Aussichtssattel im vierten Stock ... "
Eine Kurve kann gar keinen SP haben - das ist Kurvendiskussion für Fortgeschrittene.
Ein Sattel ist eine ( mindestens ) zweidimensionale Fläche, die in einer Richtung ein Maximum hat und in der anderen ein Minimum. Nur Mr. Spock sein Sattel ist natürlich 4-dimensional ...
Ein TP dagegen ist ein WP mit horizontaler Wendetangente.
Du vielleicht ist der, wo sich diese Aufgaben ausgedacht hat, pädagogisch doch ganz gut drauf.
Ein TP ist immer eine ( mehrfache ) Nullstelle von ungerader, hier offenbar von 3. Ordnung. Damit hast du aber sofort die Darstellung der gesuchten Funktion
f ( x ) = k x ³ ( x - x4 ) ( 8a )
Um diese irren Potenzen abzubauen, setze ich immer die Technik des ===> logaritmischen Differenzierens ein. Falls du einwendest, du weißt noch nicht, wie man Logaritmus ableitet.
Sag ich ätsch bätsch; Logaritmus ist DEFINIERT als aufleitung der Normalhyperbel.
Weiß ich alles aus dem Telekolleg; eine Definition kann man nicht hinterfragen.
Solltest du dich erkühnen, das anzuzweifeln, führe ich jetzt mit dir einen ===> Sokratischen Dialog.
" Wie würdest denn du Logaritmus definieren?
Jetzt weißt du, dass du nichts weißt. "
Logaritmieren von ( 8a )
ln ( y ) = 3 ln ( x ) + ln ( x - x4 ) ( 8b )
y ' / y = 3 / x + 1 / ( x - x4 ) ( 8c )
Für x = 3/2 muss ( 8c ) verschwinden:
2 + 1 / ( 3/2 - x4 ) = 0 ===> x4 = 2 ( 9 )
Jetzt bleibt noch k zu berechnen; überlass ich dir.
