Bestimmen Sie jeweils eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion, die zu den abgebildeten Graphen passen …

Question

Aufgabe: Ganzrationale Funktionen anhand der Eigenschaften der Graphen bestimmen

Da ich keine Bilder hinzufügen kann, versuche ich es zu erklären:

-> abgebildet sind drei Graphen, mit Eigenschaften (HP, TP, WP)

AUFGABE:

Bestimmen Sie jeweils eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion, die zu den abgebildeten Graphen passen könnte. Überlegen Sie zunächst, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss, und nutzen Sie, falls möglich, Symmetrieeigenschaften aus.

a) H(0|-2), T(2|-6) -> weder PS, noch AS

b) W(-1|-1), H(0|1) -> punktsymmetrisch

c) (Folgender Graph besitzt zwei Tiefpunkte:)

H(0|4), T1 (-2|-4), T2 (2|-4) -> achsensymmetrisch

LÖSUNGEN IM BUCH:

a) f(x)= x^3 - 3x^2 - 2

b) f(x)= -x^3 - 3x^2 + 1

c) f(x)= 1/2x^4 - 4x^2 + 4

Meine Frage ist, wie ich auf diese Lösungen komme?

Answer 1

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

a)

Comments

Hier eine Lösung von b) Aber Achtung die Funktion ist nicht punktsymmetrisch

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Nachdem man die Gleichungssysteme herausgefunden hat, wie kommt man  denn dann zu der „errechneten Funktion“. Genau das verstehe ich nicht.

Also wie kriegt man dann aus den verschiedenen Gleichungen EINE GLEICHUNG. Vor allem bei ...=-6 und ...= 0

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Zunächst setzt du erstmal c und d in die anderen Gleichungen ein und vereinfachst etwas

d = -2
c = 0

8·a + 4·b + 2·(0) + (-2) = -6 --> 8·a + 4·b = -4
12·a + 4·b + (0) = 0 → 12·a + 4·b = 0

II - I: 4·a = 4 → a = 1

12·(1) + 4·b = 0 --> b = -3

Jetzt in den Ansatz einsetzen

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f(x) = 1·x^3 - 3·x^2 + 0·x - 2
f(x) = 1·x^3 - 3·x^2 - 2

Answer 2

c) Folgender Graph besitzt zwei Tiefpunkte:
\(H(0|4)\), \(T_1(-2|-\red{4})\), \(T_2 (2|0)\) → achsensymmetrisch

Ich verschiebe den Graphen um \(\red{4}\) Einheiten nach oben:

 \(T_1(-2|0)\) Hier ist nun eine doppelte Nullstelle,

ebenso hier: \(T_2 (2|0)\) 

\(f(x)=a(x+2)^2(x-2)^2\)

\(H(0|4)\)→ \(H´(0|8)\):

\(f(0)=a(0+2)^2(0-2)^2=16a=8\)

\(a=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}(x+2)^2(x-2)^2\)

um \(\red{4}\) Einheiten nach unten:

\(p(x)=\frac{1}{2}(x+2)^2(x-2)^2-4\)