Mathe-Artikel: Die 10 berühmtesten mathematischen Formeln

Question

Ich habe einen Artikel fertiggestellt: Die 10 berühmtesten mathematischen Formeln und wollte nachfragen, ob jemand einen Fehler entdeckt.

Ich bin mir nicht sicher an diesen Stellen:

1. Die Fakultätsfunktion wird überlichweise definiert als n! = n·(n-1)! = n·(n-1)·(n-2)…1
Stimmt der hintere Term?

2. Li(x) Integrallogarithmus, "der definiert ist als das Integral von 1/(log t) bis x." - Stimmt der Bereich?

Ggf. findet jemand irgendwo auch noch einen Fehler im TeX bzw. Ergänzungen?

Behandelt werden übrigens die Formeln:

1. Eulersche Identität
2. Das Euler-Produkt
3. Das gaußsche Fehlerintegral
4. Die Mächtigkeit des Kontinuums
5. Die Analytische Fortsetzung der Fakultät
6. Der Satz des Pythagoras
7. Die explizite Formel für die Fibonacci-Folge
8. Das Basler Problem
9. Die Harmonische Reihe
10. Die explizite Formel für die Primzahlzählfunktion

Danke für die Hilfe,
Kai

Comments

Ich habe keine Antwort zu deinen Fragen. Aber einen Kommentar:

Du solltest i nicht DIE Wurzel aus -1 nennen. In C haben alle Zahlen, die nicht 0 sind, 2 verschiedene zweite Wurzeln.

Für die imaginäre Einheit i gilt einfach i^2 = -1. 

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Bei 4. wäre es besser zu schreiben, dass \(\left|2^\mathbb{N}\right|>|\mathbb{N}|\).

(Und ein Hinweis, dass \(2^A\) die Potenzmenge der Menge \(A\) ist, wäre auch nicht verkehrt.)

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@Lu: Das habe ich soeben geändert zu: "sowie i, die imaginäre Einheit mit i² = -1.". Da ich im Komplexen noch nicht fit genug bin, würde mich interessieren, welche 2 Wurzeln das sind.

@10001000Nick1: Habe deine Änderung (Betragstriche) aufgenommen, ich gehe davon aus, dass hier die Mächtigkeit gemeint ist. Den Hinweis zur Potenzmenge 2^A kann ich nicht nachvollziehen, vielleicht fehlt mir hier ein Stückchen Wissen. (PS: Meinst du nicht 2^N?)

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i^2 = -1 und (-i)^2 = -1

==> i und -i sind die Wurzeln aus (-1) in C.

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Mit \(2^\mathbb{N}\) meinst du doch die Potenzmenge von \(\mathbb{N}\), oder?
\(2^A\) ist eine gebräuchliche Schreibweise für die Potenzmenge einer beliebigen Menge \(A\), oder eben auch \(\mathcal{P}(A)\).
Ja, die Betragsstriche stehen für die Mächtigkeit, manchmal schreibt man da auch \(\#\mathbb{N}\).

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Danke. Kannst du mir noch sagen, wo genau ich das Wort Potenzmenge einsetzen soll?

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Du könntest es gleich nach der ersten Zeile machen, da taucht ja das Symbol \(2^\mathbb{N}\) zum ersten Mal auf. Z.B. in Klammern eine Bemerkung einfügen: (Dabei bezeichnet \(2^\mathbb{N}\) die Potenzmenge von \(\mathbb{N}\).)

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Soeben eingesetzt: https://www.matheretter.de/wiki/beeindruckende-formeln#machtigkeit

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Mir ist gerade noch etwas aufgefallen: Im zweiten Absatz steht dann: "..., dass es keine Mächtigkeit zwischen \(|2^\mathbb{N}|>|\mathbb{N}|\) gibt."
Da sollte wohl ein "und" stehen statt dem >-Zeichen

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Vielen Dank auch für diesen Hinweis. Gerade geändert :)

Answer 1

Genau aus diesem Grund habe ich den Umkehrfunktionen Rechner erstellt:  

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php   

- Fakultät "endet nicht" bei ganzen Zahlen, sondern ist nur eine um 1 verschobene Gammafunktion.  {kann also für beliebige komplexe Zahlen außer ganze negative (Polstellen) berechnet werden } 

Was man als "innere Term" 1 * 2 * ... * n kennt, ist dort nur rückwärts aufgeschrieben.  

Auch das Integral stimmt. 

- Integrallogarithmus = LogIntegral(x) = li(x) =  ∫ 1/(log t) 0 bis x   

einige Seiten schreiben: Li(x) = li(x) - li(2) sollte man aber meiden wegen Verwechslung denn

das Li(x,y) steht eigentlich für PolyLog(x,y)  

Unten im LINK gibt's eine Liste "Wolframs Liste von 328 Funktionen" mit jeglichen Algorithmen Integralform, Summen-Form, ...  

- Fibonacci ist nur ein Sonderfall der Lucal-Folge und kann mit  cos auch für komplexe Zahlen ... 

oder Fibonacci(1000)   

zu 10) die nennt man PrimePi(x) ; J(x,y) steht normalerweise für BesselJ(

Richtig erstaunlich sind die hypergeometrischen Funktionen: mit hygxFy konnte ich über 80% der anderen Funktionen relativ leicht berechnen (auch komplex).   

Ich habe jedoch nicht genug Zeit (und Rückmeldung) um die Seite "schöner" zu gestalten...

Comments

Hallo hyperG, danke für deine Nachricht.

Bei 1. n! = n·(n-1)! = n·(n-1)·(n-2)…1 - Stimmt der hintere Term?

Bei 2. Also statt "Integral von 1/(log t) bis x." schreibst du: "∫ 1/(log t) 0 bis x" - das ist damit die richtige Variante?

Danke vorab,
Kai

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1) natürlich ist es beim Produkt egal, ob von UNTEN oder von OBEN multipliziert wird -> es bleiben die selben Multiplikatoren:

2) ich meinte wie schon angedeutet diese Integralform (startet bei 0):

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogIntegral/02/0001/

Deine aus http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html   

benutze Formel benutzt die unübliche Schreibweise Li(x)= li(x)-li(2)= {int 1/log(t) dt,t=2...x}  

http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html

Dort steht auch, dass 

"and sometimes referred to as the "European" definition  is defined so that Li(2)=0 ...

Note that the notation Li_n(z) is (confusingly) also used for the polylogarithm and also for the "American" definition of li(x) !

Also besser nur li(x)-li(2) und Li(x,y) nutzen und nicht Li(x). 

(vergl. auch https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem)

Und Das J steht zu 90% für BessellJ -> in der PrimePi ist aber li(x)-li(2)+Restglied  gemeint:

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/PrimePi/06/01/

Unter http://www.gerdlamprecht.de/Primzahlen.htm  

Punkt 6 gibt es eine sehr viel einfachere Summenformel für PrimePi(k) = Σ j=2...k  ⌊ ... ⌋

(also mit der floor-Funktion = Abrunden)