Zeigen Sie, dass die Funktion f: ℝ → ℝ, f(x)= x^5 + 2x^3 + 5x + 1 bijektiv ist?

Question

Hallo :)

Zeigen Sie, dass die Funktion  f: ℝ → ℝ, f(x)= x⁵ + 2x³ + 5x + 1, bijektiv ist.

Wie ist Dies zu zeigen?

Dankeschön ^^

LG

Answer 1

Hi,

Variante A: Schreibe die Funktion als Verkettung von einzelnen Funktionen bei denen du entweder weißt ob sie bijektiv sind, oder aber es leicht nachweisen kannst.

Variante B: Mit der 1. Ableitung und dem Grenzverhalten der Funktion argumentieren. (wahrscheinlich die kürzere Variante).

Gruß

Comments

Könntest du es vormachen bitte, Dankeschön :)

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Ansatz ist da, rechnen musst du selber schaffen. Ein wenig überlegen müsstest du auch.

Answer 2

f: ℝ → ℝ, f(x)= x⁵ + 2x³ + 5x + 1

f '(x) = x^4 + 6x^2 + 5   | faktorisieren.

= (x^2 + 5)(x^2 + 1)   | beide Faktoren sind grösser / gleich 1.

> 0

==> 1. f ist streng monoton steigend.

Und da lim_(x->∞) f(x) = + ∞ und lim_(x->-∞) f(x) = - ∞

==> 2.  D = W = R.

Wegen 1. und 2. folgt: f ist bijektiv.