Die Gleichung
$$ x^5-20x-944=0 $$
lässt sich in der Menge der reellen Zahlen folgendermaßen lösen:
Lösungsweg 1 (analytisch):
Man definiere auf R die Funktion
$$ f(x):=x^5-20x-944=0 $$
Wie man leicht verifiziert, gilt
$$ f(4)=0 $$
Nunmehr gilt aber
$$ f'(x)=x^4-20 $$
Damit gilt für jedes reelle y mit
$$y>4$$
allerdings
$$f'(y)>0$$
sodass f auf diesem Intervall streng monoton steigt, insbesondere gilt für derartiges y also
$$ f(y)>f(4)=0$$
Offensichtlich sind $$\sqrt [ 4 ]{ 20 }$$ und $$-\sqrt [ 4 ]{ 20 }$$
die einzigen reellen Nullstellen von $$f'(x)$$. Zudem gilt
$$f(\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$. Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall
$$[ \sqrt [ 4 ]{ 20 };4[$$
nichtnegativ ist, dort also f monoton steigt, für jedes reelle a mit $$a\in [ \sqrt [ 4 ]{ 20 };4[$$ folglich $$f(a)<0$$ (unter Berücksichtigung von $$f(4)=0$$).
Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall
$$[-\sqrt [ 4 ]{ 20 }; \sqrt [ 4 ]{ 20 }[$$
nichtpositiv ist, dort also f monoton fällt, für jedes reelle a mit $$a\in[-\sqrt [ 4 ]{ 20 }; \sqrt [ 4 ]{ 20 }[$$ folglich $$f(a)\le f(-\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$ .
Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall
$$]-\infty ;-\sqrt [ 4 ]{ 20 }]$$
nichtnegativ ist, dort also f monoton steigt, für jedes reelle a mit $$a\in]-\infty ;-\sqrt [ 4 ]{ 20 }]$$ folglich $$f(a)\le f(-\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$ .
Zusammenfassend also gilt
$$f(x)=0$$
genau für $$x=4$$ (in der Menge der reellen Zahlen).
2. Lösungsweg (nur skizziert, auch auf C übertragbar)
Wie in Lösung 1 definiert man die Funktion f. Diese ist ein Polynom 5-ten Grades, hat also in C höchstens 5 Nullstellen (aber mindestens eine, allgemein haben Polynome ungeraden Gerades sogar bereits in R mindestens eine Nullstelle). Man errät eine reelle Nullstelle a von f in C (bzw. in R, je nachdem, welche Lösungen gesucht sind). f lässt sich bekanntermaßen darstellen in der Form
$$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$$,
wenn a,b,c,d,e Nullstellen von f (einige dieser Zahlen können zusammenfallen). Man führe die Polynomdivison
$$f(x)/(x-a)$$ durch, erhält so ein Polynom 4-ten Grades, welches man nun in das Produkt zweier quadratischer Polynome transformieren kann. Die höchstens 4, mindestens 2 (nicht notwendiger reellen Nullstellen) dieser beiden quadratischen Terme sind dann die übrigen Nullstellen von f.
Ich hoffe, dies hilft.
Im Übrigen zu Marvin812s Beitrag: Man kann nicht nur mittels Ausprobieren herausfinden, dass 4 die einzige Nullstelle in R der gesuchten Gleichung ist, denn es gibt undendlich (bzw. sogar überabzählbar unendlich) viele reelle Zahlen, man bräuchte also überabzahlbar unendlich viel Zeit (offensichtlich nicht möglich).
