Gleichung lösen x5 - 20x = 944.

Question

x⁵ - 20x = 944

--> muss ich lösen. Komme mit keinem Verfahren voran.

Mein erster Schritt

x⁵ - 20x = 944   I - 944

x⁵  - 20x - 944 = 0

--> aber jetzt kenne ich kein geeignetes Lösungsverfahren

Freue mich über Hilfe :)

Comments

Durch Probieren kommst du auf x = 4. Den Lösungsansatz überleg ich noch ... :-)

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Als Ergänzung: https://www.matheretter.de/rechner/gfplot/?a5=1&a1=-20&a0=-944

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=944

Die Primfaktorzerlegung

944 = 2⁴ * 59 hilf dir systematisch zu raten.

Beginne mit ±2 , ±4 ....

Danach Polynomdivision.

Answer 1

Die Gleichung

$$x^5-20x-944=0$$

lässt sich in der Menge der reellen Zahlen folgendermaßen lösen:

Lösungsweg 1 (analytisch):

Man definiere auf R die Funktion

$$f(x):=x^5-20x-944=0$$

Wie man leicht verifiziert, gilt

$$f(4)=0$$

Nunmehr gilt aber

$$f'(x)=x^4-20$$

Damit gilt für jedes reelle y mit

$$y>4$$

allerdings

$$f'(y)>0$$

sodass f auf diesem Intervall streng monoton steigt, insbesondere gilt für derartiges y also

$$f(y)>f(4)=0$$

Offensichtlich sind $$\sqrt [ 4 ]{ 20 }$$ und $$-\sqrt [ 4 ]{ 20 }$$

die einzigen reellen Nullstellen von $$f'(x)$$. Zudem gilt

$$f(\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$. Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall

$$[ \sqrt [ 4 ]{ 20 };4[$$

nichtnegativ ist, dort also f  monoton steigt, für jedes reelle a mit $$a\in [ \sqrt [ 4 ]{ 20 };4[$$ folglich $$f(a)<0$$ (unter Berücksichtigung von $$f(4)=0$$).

Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall

$$[-\sqrt [ 4 ]{ 20 }; \sqrt [ 4 ]{ 20 }[$$

nichtpositiv ist, dort also f monoton fällt, für jedes reelle a mit $$a\in[-\sqrt [ 4 ]{ 20 }; \sqrt [ 4 ]{ 20 }[$$ folglich $$f(a)\le f(-\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$ .

Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall

$$]-\infty ;-\sqrt [ 4 ]{ 20 }]$$

nichtnegativ ist, dort also f monoton steigt, für jedes reelle a mit $$a\in]-\infty ;-\sqrt [ 4 ]{ 20 }]$$ folglich $$f(a)\le f(-\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$ .
Zusammenfassend also gilt
$$f(x)=0$$
genau für $$x=4$$ (in der Menge der reellen Zahlen).
2. Lösungsweg (nur skizziert, auch auf C übertragbar)

Wie in Lösung 1 definiert man die Funktion f. Diese ist ein Polynom 5-ten Grades, hat also in C höchstens 5 Nullstellen (aber mindestens eine, allgemein haben Polynome ungeraden Gerades sogar bereits in R mindestens eine Nullstelle). Man errät eine reelle Nullstelle a von f in C (bzw. in R, je nachdem, welche Lösungen gesucht sind). f lässt sich bekanntermaßen darstellen in der Form
$$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$$,
wenn a,b,c,d,e Nullstellen von f (einige dieser Zahlen können zusammenfallen). Man führe die Polynomdivison
$$f(x)/(x-a)$$ durch, erhält so ein Polynom 4-ten Grades, welches man nun in das Produkt zweier quadratischer Polynome transformieren kann. Die höchstens 4, mindestens 2 (nicht notwendiger reellen Nullstellen) dieser beiden quadratischen Terme sind dann die übrigen Nullstellen von f.
Ich hoffe, dies hilft.
Im Übrigen zu Marvin812s Beitrag: Man kann nicht nur mittels Ausprobieren herausfinden, dass 4 die einzige Nullstelle in R der gesuchten Gleichung ist, denn es gibt undendlich (bzw. sogar überabzählbar unendlich) viele reelle Zahlen, man bräuchte also überabzahlbar unendlich viel Zeit (offensichtlich nicht möglich).

Comments

Du hast die Ableitung von $f$ falsch berechnet.

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Nur als kleiner Tipp:

Der TeX Bereich mit den zwei Dollarzeichen ( .$$ ) ist oft ja etwas unleserlich, da das Ergebnis in die Mitte verschoben wird und danach vor einem Nicht-TeX Bereich ein automatischer Zeilenumbruch zustande kommt.

Lösung: Verwendet \.( \.) * Dann kommt nichts von dem oben genannten zustande, wie man $hier$ sieht ;).

*Punkte weglassen

Answer 2

Definiere die Funktion $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ durch $f(x)=x^5-20x-944$.
Mittels Polynomdivision zeigt man leicht, dass $f(x)=(x-4)\cdot g(x)$ mit$$g(x)= x^4+4x^3+16x^2+64x+236$$für alle $x\in\mathbb R$ gilt. Weiter gilt $$g(x)=(x+1)^4+(3x+10)^2+x^2+135\ge135>0$$für alle $x\in\mathbb R$, daher ist $x_N=4$ die einzige reelle Nullstelle von $f$.

Answer 3

Hi, es ist $\,944 = 1024 - 80 = 4^5- 20 \cdot 4 = x^5 - 20x,$
woraus $x=4$ als eine Lösung folgt.

Answer 4

Die einzige reelle Lösung deiner Gleichung ist x=4.
Das kann man, wie bereits erwähnt, durch ausprobieren herausfinden.