Wie zeige ich, dass eine Funktion bijektiv ist? h: Z=120 → Z=4 x Z=5 x Z=6; [x]120 ↦ ([x]4; [x]5; [x]6)

Question

Ich weiß, dass eine Funktion bijektiv ist, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Aber wie weiße ich dies nach? Zum Beispiel bei der folgenden Funktion:

h: Z=120 → Z=4 x Z=5 x Z=6; [x]120 ↦ ([x]4; [x]5; [x]6)

Comments

EDIT: Wie ist

"  h: Z=120 → Z=4 x Z=5 x Z=6; [x]120 ↦ ([x]4; [x]5; [x]6)  " gemeint / vorzulesen? 

Speziell: Was sind dies x ? Multiplikationszeichen ?

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Das kommt von Chinesischen Restsatz. Also sind Restklassen. Deswegen weiß ich es ja selber nicht wie genau :(

Answer 1

Injektiv zeigt man ja meistens so:

Sei f(a) = f(b) dann folgt   a=b .

Hier wäre es also so: Man hat a und b   aus Z₁₂₀  und es ist

( a mod 4 ; a mod 5 ; a mod 6 ) = ( b mod 4 ; b mod 5 ; b mod 6 )

also 

a mod 4 = b mod 4  und a mod 5 = b mod 5  und a mod 6 = b mod 6

also 4 teilt b-a   und  5 teilt b-a    und    6 teilt b - a .

Dann enthält b-a also die Primfaktoren  2*2*3*5 ist also durch 60 teilbar.

Dann ist es aber noch lange nicht durch 120 teilbar.

Also wenn etwa a=1 und b=61 ist, dann gilt  1 ≠ 61 mod 120

aber h(1) =  ( 1 ; 1 ; 1 )  und

h(61) =  ( 1 ;  1 ;  1 ) .  Also ist h NICHT Injektiv .