Welche Matrix projiziert den durch die Einheitsvektoren in R^3 aufgespannten Einheitswürfel ...

Question

Aufgabe:

Welche Matrix projiziert den durch die Einheitsvektoren in \( \mathrm{R}^{3} \) aufgespannten Einheitswürfel so in die Ebene, dass dieses Bild in \( \mathrm{R}^{2} \) entsteht:

Die Lösung dazu lautet:

Dann gilt für die Einheitsvektoren: \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}\sqrt{3} / 4 \\ 1 / 4\end{array}\right) \)
Und wir haben die Matrix für diese Parallelprojektion \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \sqrt{3} / 4 & 0 \\ 0 & 1 / 4 & 1\end{array}\right) \).

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nun nicht ganz, wie diese Abbildungen zustande gekommen sind. Zumal auf dem Bild ja nicht der R², sondern der R³ ist, oder?

Answer 1

Ein Bild ist doch immer ein R^2 solange es noch keine Hologitter gibt :)

Ich denke mal x und z sind klar. Du brauchst also nur schauen wo eine Einheit in y-Richtung abgebildet wird.

[1/2*COS(30°), 1/2*SIN(30°)] = [√3/4, 1/4]

Comments

Also ehrlich gesagt, versteh ich auch nicht ganz, warum der erste Einheitsvektor negativ eingezeichnet ist, also (1, 0, 0) als (-1, 0, 0) dargestellt wird und warum (1, 0, 0) auf (1, 0) abgebildet wird. Das sind doch unterschiedliche Achsen, oder?

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Zunächst mal wurde (1, 0, 0) gar nicht eingezeichnet sondern nur trasformiert und das Transformierte dann eingezeichnet. 

In der Regel zeichnet man in der Oberstufe die x Achse verkürzt mit dem Faktor Wurzel(2)/2 im Winkel von 45 Grad nach links unten. y Achse nach rechts und z Achse nach oben. 

Aber egal wie man diese Vereinbarungen nimmt sollte hier eben wie folgt transformiert und eingezeichnet werden. Und dabei wird die x-Achse im Dreidimensionalen auch durch die x-Achse im Zweidimensionalen gebildet.

Wie du deine Transformationen machst ist ja egal. Man sollte nur entsprechend die Achsen richtig beschriften.