Ich habe die folgende Aufgabe:
Es sei \(A \in\mathbb{C}^{(n,n)}\), \(n\in\mathbb{N}\)
a) Es sei n=2 und A besitze zwei verschiedene Eigenwerte \(\lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{C}\). Weiter sei \(v_{1}\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_{1}\). Zeigen Sie, dass \((A-\lambda_{1}\mathbb{1}_{2})v\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_{2}\) genau dann ist, wenn \(v\notin span(v_{1})\).
b) Zeigen Sie, dass Null einziger Eigenwertvon A ist, wenn A eine nilpotente Matrix ist (d.h. \(\exists k\in\mathbb{N}: A^{k}=0\)
Bei der a) fehlt mir leider der Ansatz.
Bei der b) habe ich Folgendes:
\(A^{k}v=\lambda^kv\)
\(\exists k\in\mathbb{N}: A^k=0\Rightarrow A^k=\lambda^kv\Rightarrow0v=\lambda^kv\)
\(v\neq 0 \Rightarrow \lambda^k=0 \Rightarrow \lambda=0\)
Danke.
