Vollständige Induktion mit Größerzeichen. Ungleichung 1^2+2^2+3^2+... +n^2 > 1/3*n^3

Question

ich habe eine Frage bzgl. der vollständigen Induktion.

Ich weiß nicht, wie ich Anfangen soll.

1^2+2^2+3^2..... +n^2 > 1/3*n^3

Ich habe es versucht jedoch bin ich schon daran gescheitert, was  die Behauptung ist.

hab an 1/3(n+1)^3 * (n+1)^2 gedacht, jedoch denke ich, dass das Schwachsinn ist....

Bitte um Hilfe, Danke

Answer 1

1²+2²+3²..... +n*2 > 1/3*n³

Ich habe es versucht jedoch bin ich schon daran gescheitert, was  die Behauptung ist.

hab an 1/3(n+1)³ * (n+1)² gedacht, jedoch denke ich, dass das Schwachsinn ist....

Das ist es nicht,  ginge auch, aber du sollst ja mit vollst. Ind. beweisen.

Beh:   1²+2²+3²..... +n*2 > 1/3*n³  gilt für alle n>=1

Anfang: n=1 klappt

Annahme: gilt für ein n:     1²+2²+3²..... +n*2 > 1/3*n³   

zu zeigen: gilt für n+1, also

  1²+2²+3²..... +n*2 + (n+1)^2 wegen Annahme

> 1/3*n³ +  (n+1)^2

= 1/3*n³ +  n^2 + 2n +1  wird jetzt etwas verkleinert !

> 1/3*n³ +  n^2 + n +1/3 

= 1/3 *  ( n^3 + 3n^2 + 3n + 1) =  1/3 * (n+1)^3   also ist gezeigt:

  1²+2²+3²..... +n*2 + (n+1)^2  >    1/3 * (n+1)^3 d.h.: Die Beh. gilt für n+1.

,

Answer 2

Induktionsannahme:

∑ (k = 1 bis n) k^2 > 1/3 * n^3

Induktionsanfang: n = 1

1^2 < 1/3 * 1^3 --> erfüllt

Induktionsschritt: n --> n+1

∑ (k = 1 bis n + 1) k^2 > 1/3 * (n + 1)^3

∑ (k = 1 bis n) k^2 + (n + 1)^2 > 1/3 * (n + 1)^3

1/3 * n^3 + (n + 1)^2 > 1/3 * (n + 1)^3

n^3/3 + n^2 + 2·n + 1 >  n^3/3 + n^2 + n + 1/3

2·n + 1 >  n + 1/3 --> erfüllt für alle n

Answer 3

die Behauptung ist:

$$ \sum_{k=1}^n k^2 > \frac{1}{3}n^3 $$

Gruß

Answer 4

das geht auch schon mit dem Größer-Zeichen ...

Zu beweisen:

$$\sum_{k=1}^{n}{n^2} > \frac { 1 }{ 3 }*n^3$$

(Wenn ich es richtig verstanden habe)

Nehmen wir mal n = 1:

1² > 1/3 * 1³

1 > 1/3

=> stimmt für n = 1

Nun gilt es für n = 1, das heißt, für ein bestimmtes n. Nun musst du den Induktionsschluss ziehen, das heißt, von n auf n+1 schließen, um diese Aussage allgemein zu beweisen.

Also:

$$\sum_{k=1}^{n+1}{n^2} > \frac { 1 }{ 3 }*n^3$$

Versuche mal, das so umzuformen dass du damit arbeiten kannst.

Ich hoffe ich hab mich nicht komplett vertan...ich bin erst in der zehnten Klasse. Okay, das ist jetzt keine gute Ausrede, aber ich hoffe, dass es vielleicht ansatzweise geholfen hat