Die Bewohner in Anix, Bnix und Cnix beschäftigen sich fast ausschliesslich mit Umziehen. Jede Woche wechseln sie die Wohnung. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bewohner von Anix nach Bnix umzieht ist \( a \). Mit derselben Wahrscheinlichkeit wechselt ein Einwohner von Anix nach Cnix, von Bnix nach Anix, von Bnix nach Cnix, von Cnix nach Anix und von Cnix nach Bnix.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Einwohner einer Stadt in derselben Stadt bleibt ist dann natürlich \( 1-2 a \).
Wenn die Zahl der Einwohner in Anix, Bnix und Cnix als die Komponenten eines Vektors \( \vec{z} \in \mathbb{R}^{3} \) aufgefasst werden:
\( \vec{z}=\left[\begin{array}{c} z_{A} \\ z_{B} \\ z_{C} \end{array}\right] \)
so wird eine Woche später die erwartete Zahl der Einwohner in Anix, Bnix und Cnix
\( \left[\begin{array}{ccc} 1-2 a & a & a \\ a & 1-2 a & a \\ a & a & 1-2 a \end{array}\right] \vec{z} \)
sein.
Die Matrix \( P:=\left[\begin{array}{ccc}1-2 a & a & a \\ a & 1-2 a & a \\ a & a & 1-2 a\end{array}\right] \) heißt Übergangsmatrix.
Es stellt sich nun die Frage, stabilisiert sich im Laufe der Zeit die Bevölkerungszahl in jedem der 3 Orte? Dies führt auf das Eigenwertproblem:
\( P\left[\begin{array}{l} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{array}\right] \)
Verwenden Sie für Ihre Rechnungen den Zahlenwert
\( a=\frac{1}{4} \)
a) Ein Eigenwert von \( P \) ist \( \lambda_{1}=1 \).
Finden Sie einen zu \( \lambda_{1} \) zugehörigen Eigenvektor \( \vec{p}:=\left[\begin{array}{l}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3}\end{array}\right] \) mit den Eigenschaften:
\( p_{1}+p_{2}+p_{3}=1, p_{1}>0, p_{2}>0, p_{3}>0 \)
b) \( P \) hat insgesamt 2 Eigenwerte. Berechnen Sie den zweiten Eigenwert \( \lambda_{2} \). (Hinweis: \( \lambda_{2} \) enthält keine Wurzel.)
c) Berechnen Sie zwei linear unabhängige Eigenvektoren \( \vec{v}, \vec{w} \) zum Eigenwert \( \lambda_{2} \) von \( P . \)
d) Diagonalisieren Sie die Matrix \( P \), indem Sie eine invertierbare Matrix \( S \) und eine Diagonalmatrix \( D \) angeben, sodass \( P=S D S^{-1} \)
