Berechnung Extremstellen: z(x,y) = (x^2+y^2)(x+y-1)+1

Question

Hab hier ein kleines Problem beim finden meiner Extremstellen: z(x,y) = (x²+y²)(x+y-1)+1

Soweit komme ich:

Bedingung grad(z) = (0,0) ist klar: grad (z) = (2x(x+y-1)+(x²+y²), 2y(x+y-1)+(x²+y²))

ab hier hab ich dann das problem, bis auf (0,0), meine möglichen Extremstellen zu finden. Was muss ich hier tun?

Danke schon mal vorab.

Answer 1

in der folgenden Darstellung:

$$ \frac{\partial z(x,y)}{\partial x} = (2x)(x+y-1)+(x^2+y^2) $$
$$ \frac{\partial z(x,y)}{\partial x} = 2x^2+2xy-2x+x^2+y^2 $$
$$ \frac{\partial z(x,y)}{\partial x} =  3x^2+(2y-2)\cdot x+y^2 $$
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$$  \frac{\partial z(x,y)}{\partial y} = (2y)(x+y-1)+(x^2+y^2) $$
$$  \frac{\partial z(x,y)}{\partial y} = 2xy+2y^2-2y+x^2+y^2  $$
$$  \frac{\partial z(x,y)}{\partial y} = 3y^2+(2x-2)\cdot y+x^2  $$

lassen sich mitternachtsmäßig die Nullstellen leicht ermitteln