Question

Sei f: [0,1] → R monoton wachsend. Beweise:

Für alle a ∈ [0,1) existiert der Grenzwert f(a⁺) := lim_x→a+ f(x), für alle a ∈ (0,1] existiert der Grenzwert f(a^-) := lim_x→a- f(x).

Ich weiß nicht was das + und - zu bedeuten hat, und auch so hab ich keine Ahnung wie ich es lösen soll, bitte um Hilfe.

Answer 1

Für alle a ∈ [0,1) existiert der Grenzwert f(a⁺) := lim_x→a+ f(x), für alle a ∈ (0,1] existiert der Grenzwert f(a^-) := lim_x→a- f(x).

Ich weiß nicht was das + und - zu bedeuten hat,
Ich denke, das bedeutet  das gleiche wie lim_x→a+ f(x) =    lim_h→0 f(x+h)  für positives h
und bei

"minus" eben für negatives h oder statt f(x+h) dann f(x-h) und h>0.

Da die Funktion für alle x asu [0,1] definiert ist, kann man bei jedem a im Inneren des Intervalls

eine Folge von x-Werten finden, die z.B. von rechts gegen a konvergiert.

Dann ist die Folge der Funktionswerte wegen der Monotonie von f monoton fallend und durch f(a)

nach unten beschränkt, also konvergent.

So ähnlich geht es auch von links. Und bei den Intervallenden halt immer nur von einer Seite.