Kurvendiskussion: f(x) = (e^x - k)^2

Question

f(x) = (e^x - k)^2

• Defintionsbereich

• Symmetrieverhalten

• Schnittpunkte mit den Achsen

• Extrema

• Monotonie

• Wendepunkte

• Krümmung

• Verhalten im unendlichen

Meine Ergebnisse:

Defintionsbereich alle reellen Zahlen

Symmetrieverhalten:

f(-x) = (e ^ (-x) - k)^2

-f(x) = -(e^{x}-k)^2 = (-e^{x} +k)^2

f(-x) ungleich -f(x)

-f(x) ungleich f(-x)

=> keine Symmetrie ?!?

Nullstellen

0 = (e^x - k)^2

ab hier komm ich nicht weiter.. kann mir jemand helfen ??

Mein Hauptproblem ist, dass ich das mit dem Ableiten meist nicht hinkriege.

Answer 1

Ok, vorne angefangen:

f(x) = (e^x - k)^2

• Defintionsbereich

Der Funktionsterm ist für alle reellen Zahlen definiert.

Answer 2

f(x) = (e^x - k)²

Schnittpunkte
( e^x - k )^2 = 0
e^x - k  = 0
e^x = k  | ln
x = ln ( k ) | nur falls k > 0 ist

f ( 0 ) = (e⁰ - k)² = ( 1 - k^2 )^2
( 0  | ( 1 - k^2 )^2 )

Comments

Extrema

f(x) = (e^x - k)²
f ´ ( x ) = 2 * ( e^x - k ) * e^x
2 * ( e^x - k ) * e^x = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Also
e^x - k = 0
dasselbe wie oben
( ln ( k ) | 0 )  für k > 0
ansonsten keinen Extrempunkt

Hier der Graph für k = 2

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Monotonie
f ´ ( x ) = 2 * ( e^x - k ) * e^x
Monotonie > 0
2 * ( e^x - k ) * e^x  > 0
( e^x - k ) * e^x > 0
e^x ist immer postiv. Falls
e^x - k > 0
e^x > k

für k > 0 gilt
x > ln( k)
Monotonie fallend
x < ln ( k )

für k < 0 gilt
dann ist e^x - (negativer Wert ) immer postiv
Also k < 0 : stets monoton steigend

So. Gute Nacht für heute.

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Wendepunkte / Krümmung

für k = -2

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Im Unendlichen

lim x −> - ∞ [ e^x ] = 0
lim x −> + ∞ [ e^x ] = ∞

lim x −> - ∞ [ (e^x - k)² ] = k^2
lim x −> + ∞ [ (e^x - k)² ] = ∞