Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und die dazugehörigen Eigenwerte. A diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Matrix \( A \in \mathbb{C}^{3,3} \), von der folgendes bekannt sei:

\( A\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right] \)

a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von \( A \) und die dazugehörigen Eigenräume.

b) Begrunden Sie, dass \( A \) diagonalisierbar ist und geben Sie eine invertierbare Matrix \( S \in \mathbb{C}^{3,3} \) sowie eine Diagonalmatrix \( D \in \mathbb{C}^{3,3} \) an, so dass gilt \( A=S D S^{-1} \).

c) Berechnen Sie \( e^{A} \).

Ansatz/Problem:

zu a) da es sich um eine dreiecksmatritze handelt kann ich direkt die EW ablesen

x1=2, x2=-2, x3=-3

reicht das um die EW zu bestimmen oder muss ich rechnen Rechnen:

Lapl. nach 1.spalte (2-x)*((-2-x)*(-3-x))

für x1=2 habe ich folgenden EV raus (1 0 0). sieht dann der Eigenraum so aus:E_A(2)=

$$ \left\{ k \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\} $$ \( k \in R \)

Answer 1

Es geht doch um A.

A =
-2    0    -10
0    -2      15
0     0       -3

da ist det ( A - x*E) = -(x+3)*(x+2)^2 also Eigenwerte -3 und -2

zu -3 Eigenvektoren:

(10t, -15t , t ) also Eigenraum alle v aus C^3 mit v = t*(10;-15;1)

zu -2

( t, s,0) also Eigenraum alle v mit v= t*(1,0,0)+s*(0,1,0)

S^{-1}= Spalten sind die Eigenvektoren!

10      1      0
-15     0       1
1         0       0

dann gilt S*A*S^{-1}= D

also S*D*S^{-1} = A

und D hat die Eigenwerte in der Diagonalen.

Comments

Ok, kannst du mir erklären wie du auf A =
-2    0    -10
0    -2      15
0     0       -3

kommst?

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Gegeben war doch A * B = C mit den beiden Matrizen B und C.

Also ist A = C * B ^-1  Das habe ich ausgerechnet.

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Danke für deine Antwort,
ich habe mal online nachgerechnet und habe

-2    0    -10
0    -2      15  rausbekommen
0     0       3

es ist ja bekannt da die matrix diagonalisierbar ist! würde als begründung folgendes reichen:
Besitzt das charakteristische polynom der 3x3 matrix genau 3 nullstellen, so ist die matrix diagonalisierbar!

somit wäre D=
-2    0      0
0    -2      0
0     0       3
aber was ist S?

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ich habe gerade herausgefunden das S die matrix mit den EV ist, da ich aber nur 2 Eigenwerte habe habe ich ja auch nur 2 EV für x_1,2= (1 1 0) und für x₃ = (2 -3 1)
wie ordne ich diese denn in der Matrix an sodass ich S bekomme?