Vektorrechnung in einem Dreieck

Question

Aufgabe:

In einem Dreieck ABC sind die Punkte Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreieckseiten (s. Grafik). Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte Ma, Mb und Mc für

A (1;3), B (4;2), C (2;5)

Answer 1

den Mittelpunkt einer Strecke von einem Punkt (sagen wir A) zum anderen Punkt (sagen wir B) erhältst du beispielsweise indem du von dem ersten Punkt (A) den halben Weg bis zum zweiten Punkt (B) gehst:

In Vektoren ausgedrückt:

$$ \vec{M_c} = \vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{AB}$$

Gruß

Comments

Ich weiß nur nicht, wie ich einen Vektor durch zwei teile...

Also in diesem Beispiel den Vektor AB durch zwei. Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich die Vektoren richtig bestimmt habe, beim Vektor AB habe ich (3; -1) raus..

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Dein Vektor AB ist richtig. Und in diesem Zusammenhang bedeutet den "Vektor durch 2 zu teilen" ihn mit "1/2 zu multiplizieren" (schau nochmal auf meine Formel). Einen Vektor multiplizierst du mit einer Zahl, in dem du all Einträge des Vektors mit dieser Zahl multiplizierst.

Answer 2

Hier einen Ansatz:
Du hast doch Vektoren von A nach B , von A nach C und von B nach C.

Berechne doch mal diese Vektoren AB , AC und BC.

Diese Vektoren sind deine Seiten des Dreiecks,wen sie von den passenden Eckpunkten ausgehen.

Möchtest du jetzt von einem Eckpunkt zu dem Mittelpunkt einer Seite,so musst du doch einen der jeweiligen (Seiten)Vektoren halbieren.

Du erhältst z.b. Mc mit:
A+AB/2 =Mc

Soweit alles klar? Geht der Rest alleine`?

Comments

Dankeschön für Deine schnelle Hilfe!

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Vektoren richtig ausgerechnet habe...

Hier meine Ergebnisse: AB = (1;3) AC =(2;1) BC =(1;0)

Kannst Du mir noch kurz erklären, wie man einen Vektor durch zwei teilt (in dem Beispiel A+AB/2)?

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Ich weiß leider nicht ,wie du die Vektoren berechnet hast. Deine Ergebnisse sind alle falsch =(

Wenn du AB berechnen möchtest (von A nach B ) berechnest du :
AB= B-A

Also:
AB= (4,2) - (3,1) = (4-3,2-1 ) = (1,1)

Verstanden?
Jetzt diesen Vektor durch 2 Teilen , als mit 1/2 multiplizieren :

1/2*AB = 1/2 *(1,1) = (1/2*1 , 1/2*1) = (0.5 , 0.5)

Jetzt wollen wir mc berechnen also :
A+ 1/2*AB= (1+3) +(0.5,0.5) = (1.5,3.5) =mc

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Sorry für die Einmischung, aber wollte noch schnell Korrekturanmerkung machen damit du dein Kommentar bearbeiten kannst.

A = (1,3) und nicht (3,1).

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Ah schade zu spät :(

Dann nochmal richtig :

Wenn du AB berechnen möchtest (von A nach B ) berechnest du :
AB= B-A

Also:
AB= (4,2) - (1,3) = (4-1,2-3 ) = (3,-1)

Verstanden?
Jetzt diesen Vektor durch 2 Teilen , als mit 1/2 multiplizieren :

1/2*AB = 1/2 *(3,-1) = (1/2*3 , 1/2*-1) = (1.5 , -0.5)

Jetzt wollen wir mc berechnen also :
A+ 1/2*AB= (1+3) +(1.5,-0.5) = (2.5,2.5) =mc

Answer 3

Hi, über den bereits erwähnten Ansatz lässt sich für den Ortsvektor der Mitte der Strecke \(AB\) leicht die einfach zu berechnende und leicht zu merkende Mittenformel herleiten:

$$  \begin{aligned} \overrightarrow{OM_{AB}} &= \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\\\,\\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}- \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}\\\,\\ &= \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}\\\,\\ &= \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right). \end{aligned} $$