Dimension des Kerns in einem K-VR der Dimension 6

Question

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension 6. Sei ferner die lineare Abbildung f: V⁸-->V durch

f((v₁,...,v₈)=∑_{[i=1 bis 8]} v_i

für v_i∈V gegeben. Bestimmen Sie die Dimension von ker(f).

Ich weiß, dass 42 rauskommt, aber mir ist überhaupt nicht klar, wie man darauf kommt.

Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen.

Answer 1

Das folgt aus dem Rangsatz: \(\dim V^8=\dim \ker (f)+\dim \operatorname{im}(f)\).

Comments

Danke für die schnelle Antwort.
Der Rangsatz ist mir auch bekannt. Aber ich kann ihn irgendwie nicht darauf anwenden.

Wie genau kommt man da jetzt auf 42?

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Indem du alle Größen in die Gleichung einsetzt, die du kennst und dann nach der gesuchten Größe umstellst.

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Ja, also ich verstehe schon, dass

dim ker(f)=dim V⁸ - dim im(f).

Wie nutze ich jetzt meine gegebene Größen, um Werte für dim V⁸ und dim im(f) einzusetzen?

Die Frage ist wahrscheinlich total banal, aber ich verstehe es einfach nicht..

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Fangen wir mal mit dem Bild von f an.
Kannst du das angeben?

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Also bei einer Matrix weiß ich wie das geht. Ich bringe sie auf Zeilenstufenform, lese den Rang ab und weiß damit die Dimension des Bildes.
Ich kann das nur nicht auf diese Aufgabe übertragen.

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Das Bild von f besteht aus allen Elementen \(a\in V\), zu denen es \((v_1, ..., v_8)\in V^8\) gibt mit \(f((v_1, ..., v_8))=a\).
Kannst du jetzt zu allen \(a\in V\) ein Element aus \(V^8\) angeben, das auf \(a\) abgebildet wird? Oder funktioniert das nur für bestimmte \(a\)?

PS: Ich bin jetzt mal kurz weg, melde mich aber in ca. 1 Stunde wieder.

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Ich hätte jetzt gesagt, dass man zu jedem a∈V ein Element aus V⁸ finden kann. V hat ja die Dimension 6.
Aber sicher bin ich mir da nicht. Habe bei diesem Thema scheinbar noch gravierende Lücken.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe und die Geduld!

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Jetzt musst du aber noch begründen, warum du das gedacht hättest. :-)
Du kannst z.B. zu jedem \(a\in V\) explizit ein Element aus \(V^8\) angeben, das auf \(a\) abgebildet wird.

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Es tut mir wirklich leid, aber ich stehe total auf dem Schlauch. :-(

Kannst du mir den Lösungsweg eventuell darstellen? Ich komme glaube ich so nicht drauf.

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Für beliebiges \(a\in V\) ist doch \((a,0,0,0,0,0,0,0)\in V^8\) (dabei ist 0 das Nullelement in \(V\)). Wenn du jetzt die Abbildung f auf diesen Vektor anwendest, was kommt dann raus?

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Die Abbildung f beschreibt ja die Summe aller vi. Angewendet auf den Vektor wäre das a?

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Ja. D.h. du kannst jetzt für jedes \(a\in V\) ein Element aus \(V^8\) angeben, das auf \(a\) abgebildet wird. Damit ist das Bild von \(f\) der ganze Vektorraum \(V\). Was ist also \(\dim\operatorname{im}(f)\)?

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Wenn ich das richtig verstehe, müsste dann dim im(f)= 6 sein, weil dim V=6 ist.

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Genau.
Jetzt müssen wir noch \(\dim V^8\) bestimmen. Kannst du die Dimension berechnen (du weißt ja, dass V die Dimension 6 hat)?

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Jetzt hat es glaube ich klick gemacht!

dim V⁸ wird dann 8 mal dim V sein, dh. 48.

Und so würde man dann insgesamt für dim ker(f)=42 erhalten.

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Ja, stimmt. :-)