Exponentialgleichung lösen: 2x+10e^{-0,5x} -10 = 0

Question

 könnt ihr mir mal  2x+10e^{-0,5x} -10=0 lösen?

Danke !!!!!!!!!!

Answer 1

Das ist eine sogenannte transzendente Gleichung, das heißt, dass es keinen analytischen Ausdruck für x gibt.

Es gibt aber gewisse Möglichkeiten, die Lösung numerisch, also mit einem Computer zu berechnen.

 

Dafür formt man die Funktion erst zu einer Fixpunktgleichung um, also einer der Gleichung der Form f(x_F) = x_F:

2x + 10e^-0.5x - 10 = 0  |+10-10e^-0.5x

2x = 10*(1-e^-0.5x)  |:2

x = 5*(1-e^-0.5x)

Das ist die gewünschte Form, mit f(x) = 5*(1-e^-0.5x)

 

Diese lässt sich nun nach dem Banachschen Fixpunktsatz lösen, wenn die Funktion strikt kontraktiv ist (und das ist sie :-))

Dabei iteriert man gemäß

x_i+1 = f(x_i)

und erhält nach einigen Anwendungen mit dem Startwert x₀=5:

x_F ≈ 4.463

Comments

Vergesst nicht die zweite Lösung.

x₂=0 ;)

 

Grüße