Führe das Verfahren von Heron so lange durch,bis auf zwei Kommastellen genau übereinstimmt. (Satz des Pythagoras)

Question

Ich muss meine Mathematikprüfung verbessern und brauche dabei eure Hilfe!

VERFAHREN VON HERON - SATZ DES PYTHAGORAS

1. Führe das Verfahren von Heron so lange durch,bis auf zwei Kommastellen genau übereinstimmt.

a) Bestimme mit dem Verfahren von Heron die Wurzel von 8.

b) Bestimme mit dem Verfahren von Heron die Wurzel von 15.

2.Nachfolgend sind mehrere Figuren abgebildet. Berechne jeweils die dicker gedruckte Linie. (Hinweis: markiere dir das rechtwinklige Dreieck,welches du zur Berechnung nutzen willst)

4. Nachfolgend stehen mehrere Fragen und Aufträge. Beantworte diese auf einem separaten Blatt, falls nötig mit einem nachvollziehbaren Lösungsweg.

a) Erkläre in eigenen Worten,was man beim Verfahren von Heron tut und ,,weshalb'' es existiert. (Hinweis: Wie alt ist es? Was gab es damals noch nicht?)

( b+c habe ich richtig geantwortet)

Answer 1

Bei dem Verfahren von Heron geht man davon aus, dass man davon aus, dass z.B. bei √8

der Wert dieser Zahl näherungsweise bestimmt werden soll.

z. B. kann man wegen 2^2 = 4 < 8 sicher sein, dass 2 < √8 ist.

2 nehmen wir also als Anfangswert für die Annäherung und rechnen jetzt

8 : 2 = 4  Dieses Ergebnis ist sicherlich größer als √8. Wir nehmen es

als 2. Näherungswert.

Und um näher heranzukommen nimmt man einfach die Mitte zwischen den ersten

beiden Näherungswerten, das ist  ( 2+  4) / 2 =  3

Das ist jetzt der 3. Näherungswert und mit dem fangen wir von vorne an:

Also  8/3 = 2,6667  ( 4. Näherungswert )

Dann Mitte zwischen 3. und 4. Wert:      ( 3 + 2,6667 ) / 2 =  2, 8335  (5. Näh.wert)

Jetzt  8 / 2, 8335 =  2,8234  ( 6. Näh.wert)    Dann wieder Mitte zwischen 5. und 6. etc.

also immer abwechselnd   8 geteilt durch einen Näherungswert und anschließend

die Mitte zwischen dem alten und dem neuen Näherunswert.

Answer 2

HI,

zu (a)
Die Formel lautet ja $$ x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}  $$ mit \( x_0 = \frac{a+1}{2} \) und \( a = 8 \)

Das jetzt immer eingesetzt ergibt

a    8
       
x0    4.5                     2.828427125    1.671572875
x1    3.138888889    2.828427125    0.310461764
x2    2.843780728    2.828427125    0.015353603
x3    2.828468572    2.828427125    4.14471E-05
x4    2.828427125    2.828427125    3.03674E-10
x5    2.828427125    2.828427125    0
x6    2.828427125    2.828427125    0
x7    2.828427125    2.828427125    0
x8    2.828427125    2.828427125    0
x9    2.828427125    2.828427125    0
x10    2.828427125    2.828427125    0

Ist mit Excel gemacht worden.